在我們上學期間,是不是聽到知識點,就立刻清醒了?知識點是知識中的最小單位,最具體的內容,有時候也叫“考點”。為了幫助大家掌握重要知識點,以下是小編幫大家整理的小升中數學必考知識點,僅供參考,大家一起來看看吧。
小升中數學必考知識點1
比和比例
1.比的意義:兩個數相除又叫做兩個數的比。
比例的意義:表示兩個比相等的式子叫做比例。
2.求比值:比的前項除以比的後項所得的商叫做比值。
3.比的基本性質:比的前項和後項都乘或除以相同的數(0除外),比值不變。
比例的基本性質:在比例裏,兩個外項的積等於兩個內項的積。
4.應用比的基本性質可以化簡比;
應用比例的基本性質可以判斷兩個比是否能組成比例,也可以求比例裏的未知項,也就是解比例。
5.用字母表示比與除法和分數的關係。
a:b=a÷b=(b≠0)
6.比例尺:我們把圖上距離和實際距離的比,叫做這幅圖的比例尺。
7.圖上距離:實際距離=比例尺
或=比例尺
實際距離=圖上距離÷比例尺 圖上距離=實際距離×比例尺
8.求比值的方法:根據比值的意義,用前項除以後項,結果是一個數。
化簡比的方法:根據比的基本性質,把比的前項和後項都乘或除以相同的數(零除外),結果是一個最簡整數比。
9.正比例關係:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨着變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們之間的關係叫做正比例關係。
用式子表示:=k(一定),用圖表示正比例關係是一條直線。
10.反比例關係:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨着變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們之間的關係叫做反比例關係。
用式子表示:x×y=k(一定),用圖表示反比例關係是一條曲線。
小升中數學必考知識點2
1.長度單位有:千米、米、分米、釐米、毫米,寫出它們之間的進率
面積單位有:平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方釐米,寫出它們之間的進率。
體積(容積)單位有:立方米、立方分米(升)、立方厘米(毫升),寫出它們之間的進率。
質量單位有:噸、千克、克,寫出它們之間的進率。
時間單位有:世紀、年、月、日、時、分、秒,寫出它們之間的進率。
2.一年中的大月有:1、3、5、7、8、10、12月,共7個,每月31天。
小月有:4、6、9、11月,共4個,每月30天。 二月平年是28天,閏年是29天。
3.一年有4個季度,每個季度3個月。
4.平年閏年:公曆年份是4的倍數的一般是閏年,公曆年份是整百數的,必須是400的倍數才是閏年。
5.名數:把計量得到的數和單位名稱合起來叫做名數。
單名數:只帶有一個單位名稱的叫做單名數。
複名數:帶有兩個或兩個以上單位名稱的叫做複名數。
6.名數的改寫:高級單位的名數化成低級單位的名數乘進率,低級單位的名數化成高級單位的名數除以進率。
小升中數學必考知識點3
一.整數和小數
1.最小的一位數是1,最小的自然數是0
2.小數的意義:把整數“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份分別是十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數來表示。
3.小數點左邊依次是整數部分,小數點右邊是小數部分,依次是十分位、百分位、千分位……
4.小數的分類:小數 有限小數
無限循環小數
無限小數
無限不循環小數
5.整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數。
6.小數的性質:小數的末尾添上0或者去掉0,小數的大小不變。
7.小數點向右移動一位、二位、三位……原來的數分別擴大10倍、100倍、1000倍……
小數點向左移動一位、二位、三位……原來的數分別縮小10倍、100倍、1000倍……
二.數的整除
1.整除:整數a除以整數b(b≠0),除得的商正好是整數而且沒有餘數,我們就説a能被b整除,或者説b能整除a。
2.約數、倍數:如果數a能被數b整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的約數。
3.一個數倍數的個數是無限的,最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。
一個數約數的個數是有限的,最小的約數是1,最大的約數是它本身。
4.按能否被2整除,非0的自然數分成偶數和奇數兩類,能被2整除的數叫做偶數,不能被2整除的數叫做奇數。
5.按一個數約數的個數,非0自然數可分為1、質數、合數三類。
質數:一個數,如果只有1和它本身兩個約數,這樣的數叫做質數。質數都有2個約數。
合數:一個數,如果除了1和它本身還有別的約數,這樣的數叫做合數。合數至少有3個約數。
最小的質數是2,最小的合數是4
1~20以內的質數有:2、3、5、7、11、13、17、19
1~20以內的合數有“4、6、8、9、10、12、14、15、16、18
6.能被2整除的數的特徵:個位上是0、2、4、6、8的數,都能被2整除。
能被5整除的數的特徵:個位上是0或者5的數,都能被5整除。
小升中數學必考知識點4
1.和差倍問題
和差問題 和倍問題 差倍問題
已知條件 幾個數的和與差 幾個數的和與倍數 幾個數的差與倍數
公式適用範圍 已知兩個數的和,差,倍數關係
公式 ①(和-差)2=較小數
較小數+差=較大數
和-較小數=較大數
②(和+差)2=較大數
較大數-差=較小數
和-較大數=較小數
和(倍數+1)=小數
小數倍數=大數
和-小數=大數
差(倍數-1)=小數
小數倍數=大數
小數+差=大數
關鍵問題 求出同一條件下的
和與差 和與倍數 差與倍數
2.年齡問題的三個基本特徵:
①兩個人的年齡差是不變的;
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的;
3.歸一問題的基本特點:問題中有一個不變的量,一般是那個單一量,題目一般用照這樣的速度等詞語來表示。
關鍵問題:根據題目中的條件確定並求出單一量;
4.植樹問題
基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹,只有一端植樹 封閉曲線上植樹
基本公式 棵數=段數+1
棵距段數=總長 棵數=段數-1
棵距段數=總長 棵數=段數
棵距段數=總長
關鍵問題 確定所屬類型,從而確定棵數與段數的關係
5.雞兔同籠問題
基本概念:雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題,就是把假設錯的那部分置換出來;
基本思路:
①假設,即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣):
②假設後,發生了和題目條件不同的差,找出這個差是多少;
③每個事物造成的差是固定的,從而找出出現這個差的原因;
④再根據這兩個差作適當的調整,消去出現的差。
基本公式:
①把所有雞假設成兔子:雞數=(兔腳數總頭數-總腳數)(兔腳數-雞腳數)
②把所有兔子假設成雞:兔數=(總腳數一雞腳數總頭數)(兔腳數一雞腳數)
關鍵問題:找出總量的差與單位量的差。
6.盈虧問題
基本概念:一定量的對象,按照某種標準分組,產生一種結果:按照另一種標準分組,又產生一種結果,由於分組的標準不同,造成結果的差異,由它們的關係求對象分組的組數或對象的總量.
基本思路:先將兩種分配方案進行比較,分析由於標準的差異造成結果的變化,根據這個關係求出參加分配的總份數,然後根據題意求出對象的總量.
基本題型:
①一次有餘數,另一次不足;
基本公式:總份數=(餘數+不足數)兩次每份數的差
②當兩次都有餘數;
基本公式:總份數=(較大餘數一較小余數)兩次每份數的差
③當兩次都不足;
基本公式:總份數=(較大不足數一較小不足數)兩次每份數的差
基本特點:對象總量和總的組數是不變的。
關鍵問題:確定對象總量和總的組數。
7.牛吃草問題
基本思路:假設每頭牛吃草的速度為1份,根據兩次不同的吃法,求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因,即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點:原草量和新草生長速度是不變的;
關鍵問題:確定兩個不變的量。
基本公式:
生長量=(較長時間長時間牛頭數-較短時間短時間牛頭數)(長時間-短時間);
總草量=較長時間長時間牛頭數-較長時間生長量;
8.週期循環與數表規律
週期現象:事物在運動變化的過程中,某些特徵有規律循環出現。
週期:我們把連續兩次出現所經過的時間叫週期。
關鍵問題:確定循環週期。
閏 年:一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,則年份必須能被400整除;
平 年:一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9.平均數
基本公式:①平均數=總數量總份數
總數量=平均數總份數
總份數=總數量平均數
②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和總份數
基本算法:
①求出總數量以及總份數,利用基本公式①進行計算.
②基準數法:根據給出的數之間的關係,確定一個基準數;一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數;以基準數為標準,求所有給出數與基準數的差; 再求出所有差的和;再求出這些差的平均數;最後求這個差的平均數和基準數的和,就是所求的平均數,具體關係見基本公式②。
10.抽屜原理
抽屜原則一:如果把(n+1)個物體放在n個抽屜裏,那麼必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例:把4個物體放在3個抽屜裏,也就是把4分解成三個整數的和,那麼就有以下四種情況:
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四种放物體的方式,我們會發現一個共同特點:總有那麼一個抽屜裏有2個或多於2個物體,也就是説必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二:如果把n個物體放在m個抽屜裏,其中nm,那麼必有一個抽屜至少有:
①k=[n/m ]+1個物體:當n不能被m整除時。
②k=n/m個物體:當n能被m整除時。
理解知識點:[X]表示不超過X的最大整數。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關鍵問題:構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量,而後依據抽屜原則進行運算。
11.定義新運算
基本概念:定義一種新的運算符號,這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。
基本思路:嚴格按照新定義的運算規則,把已知的數代入,轉化為加減乘除的運算,然後按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題:正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項:①新的運算不一定符合運算規律,特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
12.數列求和
等差數列:在一列數中,任意相鄰兩個數的差是一定的,這樣的一列數,就叫做等差數列。
基本概念:首項:等差數列的第一個數,一般用a1表示;
項數:等差數列的所有數的個數,一般用n表示;
公差:數列中任意相鄰兩個數的差,一般用d表示;
通項:表示數列中每一個數的公式,一般用an表示;
數列的和:這一數列全部數字的和,一般用Sn表示.
基本思路:等差數列中涉及五個量:a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可求出第四個;求和公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可以求這第四個。
基本公式:通項公式:an = a1+(n-1)d;
通項=首項+(項數一1) 公差;
數列和公式:sn,= (a1+ an)n
數列和=(首項+末項)項數
項數公式:n= (an+ a1)
項數=(末項-首項)公差+1;
公差公式:d =(an-a1))(n-1);
公差=(末項-首項)(項數-1);
關鍵問題:確定已知量和未知量,確定使用的公式;
13.二進制及其應用
十進制:用0~9十個數字表示,逢10進1;不同數位上的數字表示不同的含義,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7++A3102+A2101+A1100
注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然數)
二進制:用0~1兩個數字表示,逢2進1;不同數位上的數字表示不同的含義。
(2)= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
++A322+A221+A120
注意:An不是0就是1。
十進制化成二進制:
①根據二進制滿2進1的特點,用2連續去除這個數,直到商為0,然後把每次所得的餘數按自下而上依次寫出即可。
②先找出不大於該數的2的n次方,再求它們的差,再找不大於這個差的2的n次方,依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。
14.加法乘法原理和幾何計數
加法原理:如果完成一件任務有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法,在第n類方法中有mn種不同方法,那麼完成這件任務共有:m1+ m2....... +mn種不同的方法。
關鍵問題:確定工作的分類方法。
基本特徵:每一種方法都可完成任務。
乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那麼完成這件任務共有:m1m2....... mn種不同的方法。
關鍵問題:確定工作的完成步驟。
基本特徵:每一步只能完成任務的一部分。
直線:一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動,形成的軌跡。
直線特點:沒有端點,沒有長度。
線段:直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
線段特點:有兩個端點,有長度。
射線:把直線的一端無限延長。
射線特點:只有一個端點;沒有長度。
①數線段規律:總數=1+2+3++(點數一1);
②數角規律=1+2+3++(射線數一1);
③數長方形規律:個數=長的線段數寬的線段數:
④數長方形規律:個數=11+22+33++行數列數
15.質數與合數
質數:一個數除了1和它本身之外,沒有別的約數,這個數叫做質數,也叫做素數。
合數:一個數除了1和它本身之外,還有別的約數,這個數叫做合數。
質因數:如果某個質數是某個數的約數,那麼這個質數叫做這個數的質因數。
分解質因數:把一個數用質數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。
分解質因數的標準表示形式:N=,其中a1、a2、a3an都是合數N的質因數,且a1 p
求約數個數的公式:P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)
互質數:如果兩個數的最大公約數是1,這兩個數叫做互質數。
16.約數與倍數
約數和倍數:若整數a能夠被b整除,a叫做b的倍數,b就叫做a的約數。
公約數:幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。
最大公約數的性質:
1、 幾個數都除以它們的最大公約數,所得的幾個商是互質數。
2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。
3、 幾個數的公約數,都是這幾個數的最大公約數的約數。
4、 幾個數都乘以一個自然數m,所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以m。
例如:12的約數有1、2、3、4、6、12;
18的約數有:1、2、3、6、9、18;
那麼12和18的公約數有:1、2、3、6;
那麼12和18最大的公約數是:6,記作(12,18)=6;
求最大公約數基本方法:
1、分解質因數法:先分解質因數,然後把相同的因數連乘起來。
2、短除法:先找公有的約數,然後相乘。
3、輾轉相除法:每一次都用除數和餘數相除,能夠整除的那個餘數,就是所求的最大公約數。
公倍數:幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。
12的倍數有:12、24、36、48
18的倍數有:18、36、54、72
那麼12和18的公倍數有:36、72、108
那麼12和18最小的公倍數是36,記作[12,18]=36;
最小公倍數的性質:
1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。
2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積。
求最小公倍數基本方法:1、短除法求最小公倍數;2、分解質因數的方法
17.數的整除
一、基本概念和符號:
1、整除:如果一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有餘數,那麼叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。
2、常用符號:整除符號|,不能整除符號因為符號∵,所以的符號
二、整除判斷方法:
1. 能被2、5整除:末位上的數字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除:末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
3. 能被8、125整除:末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
4. 能被3、9整除:各個數位上數字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除:
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的2倍後能被7整除。
6. 能被11整除:
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。
③逐次去掉最後一位數字並減去末位數字後能被11整除。
7. 能被13整除:
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的9倍後能被13整除。
三、整除的性質:
1. 如果a、b能被c整除,那麼(a+b)與(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除,c是整數,那麼a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那麼a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除,那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。
18.餘數及其應用
基本概念:對任意自然數a、b、q、r,如果使得ab=qr,且0
餘數的性質:
①餘數小於除數。
②若a、b除以c的餘數相同,則c|a-b或c|b-a。
③a與b的和除以c的餘數等於a除以c的餘數加上b除以c的餘數的和除以c的餘數。
④a與b的積除以c的餘數等於a除以c的餘數與b除以c的餘數的積除以c的餘數。
19.餘數、同餘與週期
一、同餘的定義:
①若兩個整數a、b除以m的餘數相同,則稱a、b對於模m同餘。
②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對於模m同餘,記作ab(mod m),讀作a同餘於b模m。
二、同餘的性質:
①自身性:aa(mod m);
②對稱性:若ab(mod m),則ba(mod m);
③傳遞性:若ab(mod m),bc(mod m),則a c(mod m);
④和差性:若ab(mod m),cd(mod m),則a+cb+d(mod m),a-cb-d(mod m);
⑤相乘性:若a b(mod m),cd(mod m),則ac bd(mod m);
⑥乘方性:若ab(mod m),則anbn(mod m);
⑦同倍性:若a b(mod m),整數c,則ac bc(mod m
三、關於乘方的預備知識:
①若A=ab,則MA=Mab=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=McMd
四、被3、9、11除後的餘數特徵:
①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和,則Mn(mod 9)或(mod 3);
②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和,Y表示M的各個偶數數位上數字的和,則MY-X或M11-(X-Y)(mod 11);
五、費爾馬小定理:如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-11(mod p)。
20.分數與百分數的應用
基本概念與性質:
分數:把單位1平均分成幾份,表示這樣的一份或幾份的數。
分數的性質:分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外),分數的大小不變。
分數單位:把單位1平均分成幾份,表示這樣一份的數。
百分數:表示一個數是另一個數百分之幾的數。
常用方法:
①逆向思維方法:從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。
②對應思維方法:找出題目中具體的量與它所佔的率的直接對應關係。
③轉化思維方法:把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關係;把不同的標準(在分數中一般指的是一倍量)下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。
④假設思維方法:為了解題的方便,可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立,計算出相應的結果,然後再進行調整,求出最後結果。
⑤量不變思維方法:在變化的各個量當中,總有一個量是不變的,不論其他量如何變化,而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況:A、分量發生變化,總量不變。B、總量發生變化,但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化,但分量之間的差量不變化。
⑥替換思維方法:用一種量代替另一種量,從而使數量關係單一化、量率關係明朗化。
⑦同倍率法:總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。
⑧濃度配比法:一般應用於總量和分量都發生變化的狀況。
21.分數大小的比較
基本方法:
①通分分子法:使所有分數的分子相同,根據同分子分數大小和分母的關係比較。
②通分分母法:使所有分數的分母相同,根據同分母分數大小和分子的關係比較。
③基準數法:確定一個標準,使所有的分數都和它進行比較。
④分子和分母大小比較法:當分子和分母的差一定時,分子或分母越大的分數值越大。
⑤倍率比較法:當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小,除了運用以上方法外,可以用同倍率的變化關係比較分數的大小。(具體運用見同倍率變化規律)
⑥轉化比較方法:把所有分數轉化成小數(求出分數的值)後進行比較。
⑦倍數比較法:用一個數除以另一個數,結果得數和1進行比較。
⑧大小比較法:用一個分數減去另一個分數,得出的數和0比較。
⑨倒數比較法:利用倒數比較大小,然後確定原數的大小。
⑩基準數比較法:確定一個基準數,每一個數與基準數比較。
22.分數拆分
一、 將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式:
① =+;
②=+(d為自然數);
23.完全平方數
完全平方數特徵:
1. 末位數字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3餘0或餘1;反之不成立。
3. 除以4餘0或餘1;反之不成立。
4. 約數個數為奇數;反之成立。
5. 奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。
6. 奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。
7. 兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24.比和比例
比:兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項,比號後面的數叫比的後項。
比值:比的前項除以後項的商,叫做比值。
比的性質:比的前項和後項同時乘以或除以相同的數(零除外),比值不變。
比例:表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性質:兩個外項積等於兩個內項積(交叉相乘),ad=bc。
正比例:若A擴大或縮小几倍,B也擴大或縮小几倍(AB的商不變時),則A與B成正比。
反比例:若A擴大或縮小几倍,B也縮小或擴大幾倍(AB的積不變時),則A與B成反比。
比例尺:圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配:把幾個數按一定比例分成幾份,叫按比例分配。
25.綜合行程
基本概念:行程問題是研究物體運動的,它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關係.
基本公式:路程=速度時間;路程時間=速度;路程速度=時間
關鍵問題:確定運動過程中的位置和方向。
相遇問題:速度和相遇時間=相遇路程(請寫出其他公式)
追及問題:追及時間=路程差速度差(寫出其他公式)
流水問題:順水行程=(船速+水速)順水時間
逆水行程=(船速-水速)逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=(順水速度+逆水速度)2
水 速=(順水速度-逆水速度)2
流水問題:關鍵是確定物體所運動的速度,參照以上公式。
過橋問題:關鍵是確定物體所運動的路程,參照以上公式。
主要方法:畫線段圖法
基本題型:已知路程(相遇路程、追及路程)、時間(相遇時間、追及時間)、速度(速度和、速度差)中任意兩個量,求第三個量。
26.工程問題
基本公式:
①工作總量=工作效率工作時間
②工作效率=工作總量工作時間
③工作時間=工作總量工作效率
基本思路:
①假設工作總量為1(和總工作量無關);
②假設一個方便的數為工作總量(一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數),利用上述三個基本關係,可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關鍵問題:確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關係。
經驗簡評:合久必分,分久必合。
27.邏輯推理
基本方法簡介:
①條件分析假設法:假設可能情況中的一種成立,然後按照這個假設去判斷,如果有與題設條件矛盾的情況,説明該假設情況是不成立的,那麼與他的相反情況是成立的。例如,假設a是偶數成立,在判斷過程中出現了矛盾,那麼a一定是奇數。
②條件分析列表法:當題設條件比較多,需要多次假設才能完成時,就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中,表格的行、列分別表示不同的對象與情況,觀察表格內的題設情況,運用邏輯規律進行判斷。
③條件分析圖表法:當兩個對象之間只有兩種關係時,就可用連線表示兩個對象之間的關係,有連線則表示是,有等肯定的狀態,沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態,有連線表示認識,沒有表示不認識。
④邏輯計算:在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外,還要進行相應的計算,根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。
⑤簡單歸納與推理:根據題目提供的特徵和數據,分析其中存在的規律和方法,並從特殊情況推廣到一般情況,並遞推出相關的關係式,從而得到問題的解決。
28.幾何面積
基本思路:
在一些面積的計算上,不能直接運用公式的情況下,一般需要對圖形進行割補,平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等,使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算;另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。
常用方法:
1. 連輔助線方法
2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。
3. 大膽假設(有些點的設置題目中説的是任意點,解題時可把任意點設置在特殊位置上)。
4. 利用特殊規律
①等腰直角三角形,已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等於等腰直角三角形的面積)
②梯形對角線連線後,兩腰部分面積相等。
③圓的面積佔外接正方形面積的78.5%。
29.立體圖形
名稱 圖形 特徵 表面積 體積
長
方
體 8個頂點;6個面;相對的面相等;12條稜;相對的稜相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh
=Sh
正
方
體 8個頂點;6個面;所有面相等;12條稜;所有稜相等; S=6a2 V=a3
圓
柱
體 上下兩底是平行且相等的圓;側面展開後是長方形; S=S側+2S底
S側=Ch V=Sh
圓
錐
體 下底是圓;只有一個頂點;l:母線,頂點到底圓周上任意一點的距離; S=S側+S底
S側=rl V=Sh
球
體 圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r3
30.時鐘問題快慢表問題
基本思路:
1、 按照行程問題中的思維方法解題;
2、 不同的表當成速度不同的運動物體;
3、 路程的單位是分格(表一週為60分格);
4、 時間是標準表所經過的時間;
小升中數學必考知識點5
內容概述
涉及知識點多、解題過程比較複雜的整數綜合題,以及基本依靠數論手段求解的其他類型問題。
1.如果把任意n個連續自然數相乘,其積的個位數字只有兩種可能,那麼n是多少?
【分析與解】 我們知道如果有5個連
續的自然數,因為其內必有2的倍數,也有5的倍數,則它們乘積的個位數字只能是0。
所以n小於5.
第一種情況:當n為4時,如果其內含有5的倍數(個位數字為O或5),顯然其內含有2的倍數,那麼它們乘積的個位數字為0;
如果不含有5的倍數,則這4個連續的個位數字只能是1,2,3,4或6,7,8,9;它們的積的個位數字都是4;
所以,當n為4時,任意4個連續自然數相乘,其積的個位數字只有兩科可能。
第二種情況:當n為3時,有123的`個位數字為6,234的個位數字為4,345的個位數字為0,,不滿足。
第三種情況:當n為2時,有12,23,34,45的個位數字分別為2,6,4,0,顯然不滿足。
至於n取1顯然不滿足了。
所以滿足條件的n是4.
2.如果四個兩位質數a,b,c,d兩兩不同,並且滿足,等式a+b=c+d.那麼
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
【分析與解】兩位的質數有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,
67,71,73,79,83,89,97.
可得出,最小為11+19=13+17=30,最大為97+71=89+79=168.
所以滿足條件的a+b最小可能值為30,最大可能值為168.
3.如果某整數同時具備如下3條性質:
①這個數與1的差是質數;
②這個數除以2所得的商也是質數;
③這個數除以9所得的餘數是5.
那麼我們稱這個整數為幸運數。求出所有的兩位幸運數。
【分析與解】 條件①也就是這個數與1的差是2或奇數,這個數只能是3或者偶數,再根據條件③,除以9餘5,在兩位的偶數中只有14,32,50,68,86這5個數滿足條件。
其中86與50不符合①,32與68不符合②,三個條件都符合的只有14.
所以兩位幸運數只有14.
4.在555555的約數中,最大的三位數是多少?
【分析與解】555555=51111001
=357111337
顯然其最大的三位數約數為777.
5.從一張長20xx毫米,寬847毫米的長方形紙片上,剪下一個邊長儘可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那麼在剩下的紙片上再剪下一個邊長儘可能大的正方形。按照上面的過程不斷地重複,最後剪得正方形的邊長是多少毫米?
【分析與解】 從長20xx毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形,這樣的正方形的個數恰好是20xx除以847所得的商。而餘數恰好是剩下的長方形的寬,於是有:2002847=2308,847308=2231,308231=177.23177=3.
不難得知,最後剪去的正方形邊長為77毫米。
6.已知存在三個小於20的自然數,它們的最大公約數是1,且兩兩均不互質。請寫出所有可能的答案。
【分析與解】 設這三個數為a、b、c,且a
小於20的合數有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.其中只含1種因數的合數不滿足,所以只剩下6,10,12,14,15,18這6個數,但是14=27,其中質因數7只有14含有,無法找到兩個不與14互質的數。
小升中數學必考知識點6
何謂“數、行、形、算”,也就是數論,行程,圖形、計算四個問題。數論難在它的抽象,這是區分尖子生和普通生的關鍵;行程問題複雜就在其應用,孩子在做這類題目的時候,要求的不僅是其思維,還有其表述;圖形問題(幾何問題)雜而難,重點要求的是面積的計算,這是中學教育的開始;計算是基礎,是孩子取得高分的必要保障。
由於這四個問題,學生容易入門,但不易熟練,時常犯錯誤,因此成為近年來重點中學考試的熱點,據瞭解,蘇州重點中學近年來的這幾大問題的考題佔據全部了80%左右,對這些問題的考察也十分偏重,而數論和行程問題的考察更是重中之重,往往佔到一張試卷的50%。那麼如何複習這四方面的內容呢?
對於圖形問題,我們要説的就是培養孩子的形象思維,重點加強的是面積的計算。計算的技巧和方法也是在做題的總結和加強的,這裏重點介紹一下數論和行程問題的複習方法。
數論在數論學習中學生往往容易犯如下幾個錯誤:
1、讀題障礙。數論的題目敍述往往只有幾句話,甚至只有一行,可就這短短的幾句話,卻表達了很多意思,學生如果讀不出題中的意思,題目通常會解錯。
2、知識僵化。由於數論問題非常抽象,大多數學生往往採用死記硬背的方法來“消化”所學的內容,導致各個知識點都似曾相識,但遇到實際題目卻一籌莫展。例如,説起奇偶性都知道怎麼回事,馬上就開始背:“奇數+奇數=偶數……”可是在做題的時候就想不到用。
3、只見樹木,不見森林。對於數論定理的靈活運用很欠缺。提起定理都能一字不差的背下來,但是對各個概念和性質缺乏整體上的認識和把握,更不用説理解各知識點之間的內部聯繫了。
知識體系:
整除問題:
(1)數的整除的特徵和性質 (分班常考內容)
(2)位值原理的應用(用字母和數字混合表示多位數)
質數合數:
(1)質數、合數的概念和判斷(2)分解質因數(重點)
約數倍數:
(1)最大公約最小公倍數(2)約數個數決定法則 (常考內容)
餘數問題:
(1)帶餘除式的理解和運用;(2)同餘的性質和運用;(3)中國剩餘定理奇偶問題:(1)奇偶與四則運算;(2)奇偶性質在實際解題過程中的應用完全平方數:(1)完全平方數的判斷和性質(2)完全平方數的運用整數及分數的分解與分拆(重點、難點)
這四個問題我們需要掌握到什麼樣的程度?
近幾年來,雖然一些重點中學對以上的幾個問題考察較多,但是難度通常不大,中等難度題目出現的頻率很高,通常在60%以上,因此我們的同學只要夯實基礎,對於這樣的一張分班試卷的完成應該是能取得很好的成績的。對此,編輯給出建議:如果我們的孩子不是要搞競賽,只是為了進入重點中學,中等題的掌握絕對是我們的重點,不能盲目追求難度,否則容易適得其反。
小升中數學必考知識點7
數的整除
1.整除:整數a除以整數b(b≠0),除得的商正好是整數而且沒有餘數,我們就説a能被b整除,或者説b能整除a。
2.約數、倍數:如果數a能被數b整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的約數。
3.一個數倍數的個數是無限的,最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。
一個數約數的個數是有限的,最小的約數是1,最大的約數是它本身。
4.按能否被2整除,非0的自然數分成偶數和奇數兩類,能被2整除的數叫做偶數,不能被2整除的數叫做奇數。
5.按一個數約數的個數,非0自然數可分為1、質數、合數三類。
質數:一個數,如果只有1和它本身兩個約數,這樣的數叫做質數。質數都有2個約數。
合數:一個數,如果除了1和它本身還有別的約數,這樣的數叫做合數。合數至少有3個約數。
最小的質數是2,最小的合數是4
1~20以內的質數有:2、3、5、7、11、13、17、19
1~20以內的合數有“4、6、8、9、10、12、14、15、16、18
6.能被2整除的數的特徵:個位上是0、2、4、6、8的數,都能被2整除。
能被5整除的數的特徵:個位上是0或者5的數,都能被5整除。
能被3整除的數的特徵:一個數的各位上 數的和能被3整除,這個數就能被3整除。
7.質因數:如果一個自然數的因數是質數,這個因數就叫做這個自然數的質因數。
8.分解質因數:把一個合數用質因數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。
9.公約數、公倍數:幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。
幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。
10.一般關係的兩個數的最大公約數、最小公倍數用短除法來求;互質關係的兩個數最大公約數是1,最小公倍數是兩數之積;倍數關係的兩個數的最大公約數是小數,最小公倍數是大數。
11.互質數:公約數只有1的兩個數叫做互質數。
12.兩數之積等於最小公倍數和最大公約數的積。