2016年小升中數學專題複習：最大公約數的運用

最大公約數的運用是國小數學考試必考知識點之一，那麼關於最大公約數，同學們複習好了嗎?下面隨本站小編一起來温習一遍吧!

　　都知道，24的約數有

1，2，3，4，6，8，12，24;

　　42的約數有

1，2，3，6，7，14，21，42.

幾個自然數公有的約數，叫做這幾個數的公約數.

　　24和42的公約數有

1，2，3，6.

幾個自然數的公約數中，最大的一個叫做這幾個數的最大公約數.

24與42的最大公約數是6，記作(24，42)=6.

16，72，84的最大公約數是4，記作(16，72，84)=4.

如果兩個自然數的最大公約數是1，那麼就稱這兩個數互質.例如(4，9)=1，稱4與9互質.

對於自然數a、b，有兩個數的`最大公約數與最小公倍數的積等於這兩個數的積。

即：[a，b]×(a，b)=a×b.

　　問題1 有兩個容器，一個容量為27升，一個容量為15升，怎樣利用它們從一桶油中倒出6升油來?

分析 油從27升與15升兩個容器中倒進倒出而得到6升油，就是用27與15經過若干次加減運算後得到數6.

解 (27，15)=3.

15=12×1+3，2×15=27+3，

3=2×15-27，6=4×15-2×27.

所以，向小容器裏倒4次油，每倒滿後就向大容器裏倒，大容器注滿了就往桶裏倒.當大容器第二次倒滿時，小容器裏剩下的就是6升油.

　　問題2 一塊長方形的紙，長75釐米，寬60釐米，要把這張紙裁成面積相等的小正方形的紙而無剩餘，且使邊長最長，問可裁成幾張?

分析 要使這些面積相等的小正方形紙的邊長最長，就是要求75與60的最大公約數.

解 (75，60)=15.

(75÷15)×(60÷15)=5×4=20.

答：可裁成20張.

　　問題3 甲、乙、丙三個班的學生人數分別是54、48、72.現要在各班分別組織體育鍛鍊小組，但各小組的人數要相同.問鍛鍊小組的人數最多是多少?這時甲、乙、丙三班共有多少個小組?

分析 要使各小組的人數相等且人數最多，就是求54、48、72的最大公約數.

解(54，48，72)=6.

(54+48+72)÷6=29.

答：鍛鍊小組的人數最多是6，這時甲、乙、丙三班共有29個小組.

　　問題4 工人加工零件，第一批毛坯1788個，第二批毛坯1680個，第三批毛坯2098個.現平均分給工人，分別剩7個、3個、5個.問加工的工人最多有多少?

分析 所求工人的最多人數是1788-7=1781、1680-3=1677、2098-5=2093三個數的最大公約數.

解1788-7=1781，

1680-3=1677，

2098-5=2093.

(1781，1677，2093)=13.

答：加工的工人最多有13人.

　　問題5 有三根鋼管，其中第一根的長度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根長280釐米.現在把這三根鋼管截成儘可能長而又相等的小段，問共可以截成多少段?

分析 先求出三根鋼管各自的長度，再求出這三根鋼管長度數的最大公約數.

解 依題意，第三根鋼管的長度是第二根鋼管長度的2.4倍.

280÷(2.4-1)=200.

200×1.2 =240.

240×2=480.

(200，240，480)=40.

(200+240+480)÷40=23.

答：共可以截成23段.

　　問題6 有320個蘋果、240個桔子、200個梨，用這些果品最多可分成多少份同樣的禮物?在每份禮物中，蘋果、桔子、梨各有多少個?

分析 所求果品的份數，就是320、240、200的最大公約數.

解(320，240，200)=40.

320÷40=8，

240÷40=6，

200÷40=5.

答：用這些果品最多可分成40份.在每份禮物中，有8個蘋果、6個桔子、5個梨.

　　問題7已知甲、乙兩數的比為5∶3，並且它們的最大公約數與最小公倍數的和是1040.求甲數和乙數.

分析 因為5與3互質, 所以甲數=最大公約數×5，

乙數=最大公約數×3.

它們的最小公倍數=最大公約數×5×3.

解 最大公約數為1040÷(15+1)=65.

65×5=325，65×3=195.

答：甲數為325，乙數為195

　　練習

1.某校訂購了數學、語文、英語資料各228冊、114冊、84冊現平均分成若干份，每份中這三種資料的數量分別相等那麼最多可分成幾份?

2.某商店經銷某種貨物，去年總金額為36963元，今年每件貨物的售價(單價)不變，總金額為 59570元.如果單價(以元為單位)是大於1的整數，問單價是多少元?3.現有鐵絲三根，一根長12米，一根長18米，一根長42米.要把三根鐵絲截成同樣長的若干段且都不許有剩餘，每段最長為幾米?一共可以截成多少段?

4.把一張長147釐米、寬105釐米的長方形紙截成大小一樣且長與寬之比是5∶3的長方形紙，且沒有剩餘.問最少可截成幾張?

5.有一塊長方體木料，長72釐米，寬60釐米，高36釐米.要把這塊木料鋸成同樣大小的正方體木塊，木塊的體積要最大，且不能有剩餘.問可鋸成幾塊?

6.已知兩個不相等(且都不為1)的自然數的最小公倍數是42，這樣的兩個數一共有幾組?請分別寫出來.