国小奥数之整除问题
我们知道,2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算:
2+4=6,4+6=10,6+8=14,
2+6=8,4+8=12,6+10=16,
2+8=10,4+10=14,…………
2+10=12,…………
…………
2+4+6=12,
2+4+6+8=20,
2+4+6+8+10=30,
…………
4-2=2,6-4=2,8-6=2,
6-2=4,8-4=4,10-6=4,
8-2=6,10-4=6,…………
10-2=8,
…………
我们发现,它们之间的和或差也都能被2整除.因此,我们有理由猜想:能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.
我们还知道,3、6、9、12、15、……都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算:
3+6=9,6+9=15,9+12=21,
3+9=12,6+12=18,9+15=24,
3+12=15,6+15=21,………
3+15=18,…………
………
3+6+9=18,
3+6+9+12=30,
3+6+9+12+18=48,
………
6-3=3,9-6=3,12-9=3,
9-3=6,12-6=6,15-9=6,
12-3=9,15-6=9,………
15-3=12,………
………
这些运算的结果也都能被3整除.因此,我们又有理由猜想:能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.
有了前面的两点猜想,我们似乎可以作更大胆的猜想:如果有一些数能被某个数整除,那么,这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.
令人不放心的是,关于这个猜想,我们还仅只是考察了“某数”是2和3的部分情形.是不是对所有的情形都正确呢?解决这个问题的办法有两个:一是再接着逐个去验证考察。但这是一件永远也办不完的麻烦事情!另一个办法是用符号(这个发明用符号来表达数学关系的前辈确实是一个伟大的天才!)表示出“猜想”中的数学关系,然后,去想方设法说清它正确的道理.亲爱的读者,你能完成这项工作吗?
【规律】
如果有整数A、B、C、……都能被整数m整除,那么,就有A±B±C±……
的`结果也能被m整除.
事实上,整数A、B、C、……都能被整数m整除,那么,这些整数就可以分别写成m的倍数形式:
A=a?m,B=b?m,C=c?m,……
(其中a、b、c仍为整数).这样
A±B±C±……
=a?m±b?m±c?m±……
=(a±b±c±……)?m.
显然,后面的结果是m的倍数,能被m整除.这就说明了原式
A±B±C±……
也能被m整除.猜想是正确的.
【练习】
运用上面的规律你能判断出下面哪些算式的得数能被2、3或5整除.
(1)123456789×1991+987654321;
(2)987654321×1992-123456789;
(3)2+4+6+……+1998+2000;
(4)5000-4998+4996-4994+……+4-2;
(5)1×2+3×4+5×6+……+99×100;
(6)1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99;
(7)1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100;
(8)19921+19922+19923+……+19922000.
-
幼儿园防洪应急演练方案(通用8篇)
为了保障事情或工作顺利、圆满进行,时常需要预先开展方案准备工作,方案属于计划类文书的一种。优秀的方案都具备一些什么特点呢?下面是小编为大家收集的幼儿园防洪应急演练方案,欢迎阅读与收藏。幼儿园防洪应急演练方案篇1一、演练时间20xx年月中旬二、演练地点地...
-
藤野先生读后感(精选27篇)
当阅读完一本名著后,相信大家都积累了属于自己的读书感悟,需要好好地就所收获的东西写一篇读后感了。到底应如何写读后感呢?以下是小编为大家整理的藤野先生读后感,希望对大家有所帮助。藤野先生读后感篇1恩师是让人怀念的,特别是当你身处异国时,经常会让你觉得孤独...
-
八年级物理个人教学总结
总结是指社会团体、企业单位和个人对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析,得出教训和一些规律性认识的一种书面材料,它能够使头脑更加清醒,目标更加明确,因此好好准备一份总结吧。你所见过的总结应该是什么样的?以下是小编整理的八年级物理个人教学总结...
-
校学生会宣传部工作总结通用8篇
总结是对取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训等方面情况进行评价与描述的一种书面材料,他能够提升我们的书面表达能力,不如我们来制定一份总结吧。那么如何把总结写出新花样呢?下面是小编整理的校学生会宣传部工作总结,欢迎阅读与收藏。校学生会宣传部工作总...