國中學校無理數的四個注意事項
七年級時,我們認識了負數,使數的範圍擴展到了有理數,八年級,我們又開始學習了無理數,把數的範圍再一次擴展到了實數。剛剛學習無理數,認為無理數不象有理數那樣,直觀易懂,總有一種虛幻的感覺,其次,無理數和有理數一樣,有自己的鮮明特徵。那麼怎樣學習無理數呢?請同學們注意以下四個方面。
一.明確無理數的存在
無理數來自實踐,無理數並不“無理”,也不是人們臆想出來的,它是實實在在存在的,例如:
(1)一個直角三角形,兩條直角邊長分別為1和2,由勾股定理知,它的斜邊長為 ;
(2)任何一個圓,它的周長和直徑之比為一常數 等等;
像 這樣的數,在我們周圍的生活中,不是隻有少數幾個,而是像有理數一樣有無限個。
二.弄清無理數的定義
教材中指出:無限不循環小數叫無理數,這説明無理數是具有兩個基本特徵的`小數:一是小數位數是無限的;二是不循環的。這對初學者來説有一定難度,因此,我們必須掌握它的表現形式。
三.掌握無理數的表現形式
在國中階段,無理數表現形式主要有以下幾種:
1.無限不循環的小數,如0.1010010001……(兩個1之間依次多一個0)
2.含 的數,如: , , 等。
3.開方開不盡而得到的數,如 , 等。
4.某些三角函數值:如 , 等。
四.辨別一些模糊認識
1.無限小數都是無理數
無限小數分:為無限循環小數和無限不循環小數,其中無限循環小數是有理數,只有無限不循環的小數才是無理數。
2.無理數包括正無理數、負無理數和零。
受思維習慣的影響,有些同學錯誤認為正無理數與負無理數之間應有零,零也是無理數,其實零是一個有理數,因此,無理數只分為正無理數和負無理數兩類。
3.帶根號的數是無理數。
是有理數2, 是有理數-2,可見帶根號的數不一定是無理數。
4.無理數是用根號形式表示的數。
是無理數,但並不是用根號形式表示的,再如:0.1010010001……(兩個1之間依次多一個),亦為不帶根號的無理數。
5.無理數是開方開不盡的數。
無理數並非由開方的結果來定義的,事實上,如 ,0.232232223……,等無理數,都不是由開方得到的。
6.兩個無理數的和、差、積、商仍是無理數。
兩個無理數的和,差,積,商不一定是無理數,如:
等都是有理數。
7.無理數與有理數的乘積是無理數。
這種説法是錯誤的!
由 等似乎易見無理數與有理數的積是無理數,就下肯定結論,錯了!
如 等足以推翻以上結論。
8.有些無理數是分數。
因為分數屬於有理數,且無理數與有理數是兩類不同的數,所以説,無理數不可能寫成分數,當然,有些無理數可以藉助分數線來表示。
如 ,但一定要注意它並不是分數。
9.無理數比有理數少。
這種説法錯誤,無理數在人們生產和生活中使用的少一些,但並不是説無理數就少一些,我們平常的計算中沒有特別需要時,習慣地把一些無理數按要求通過取近似值的方法用有理數來表示,這樣似乎就覺得使用無理數少一些,實際上,無理數也有無限個且比有理數多得多。
10.一個無理數的平方一定是有理數。
這種説法錯誤,不要誤認為只有 等無理數,如 等也是無理數,顯然 等不是有理數。
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