數學四年級上冊期中總複習

第一部分大數的認識

一、數的產生

1、用來表示物體個數的1、2、3、4、5……這樣的數叫做自然數。一個物體也沒有，就用0表示，0也是自然數。0是最小的自然數，自然數的個數是無限的，沒有最大的自然數。

2、數位與數級

數級億級萬級個級

數位…千億位百億位十億位億位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個位

計數單位…千億百億十億億千萬百萬十萬萬千百十個

要弄清數位與計數單位的區別。

3、十進制計數法

每相鄰兩個計數單位之間的進率是10，這樣的計數法叫十進制計數法。

弄清不同計數單位之間的進率。如：百萬和萬之間的進率是()，十億和千萬之間的進率是()。

題目舉例：()個千萬是十億。一億是100個()。

二、數的讀法和寫法

1、讀數

讀數的方法：先按四位一級的方法進行分級，從高位讀起，每級都按照個級的讀法來讀，再在後面加上一個“萬”字或“億”字，每級末尾不管有幾個0，都不讀，其他數位有一個0或連續幾個0，都只讀一個“零”。

如：304|2459|8762讀作：三百零四億二千四百五十九萬八千七百六十二

2、寫數

寫數的方法：找到“萬”字或“億”字，先分級，從高位寫起。確保每級四位，哪一位上一個單位也沒有，就在那一位上補0。如：二千零九億五千零三十萬三千五百九十

寫作：2009|5030|3590

3、數的組成

第一種：根據數位上的數來分析數的組成。如：304|2010是由(3)個(百萬)，(4)個(萬)，(2)個(千)，(1)個(十)組成的。

第二種：根據數級上的數來分析數的組成。如：304|2010是由(304)個(萬)，(2010)個(一)組成的。

三、改寫和省略

1、改寫

去掉末尾的四個0，將數寫成用萬作單位的數。如：450000=45萬

去掉末尾的八個0，將數寫成用億作單位的數。如：200000000=2億

(再舉一個超課本知識的改寫例子：45600=4.56萬)

2、省略

去掉末尾的四位數字，將數寫成用萬作單位的數。

去掉末尾的八位數字，將數寫成用億作單位的數。

(但要注意看清去掉部分的最高位，如果是5或比5大，要向前一位進一。)

如：54340≈5萬56070≈6萬720023000≈7億459800000≈5億

3、改寫和省略的區別

改寫不改變數的大小用=連接

省略改變了數的大小用≈連接用四捨五入的方法

典型難題：

1、一個數省略後是50萬，這個數最大可能是()，最小可能是()。

分析：一種可能是四舍以後約等於50萬的。那麼去掉部分的最高位是4或更小的數，504000.要使它最大，就是504999.

另一種可能是五入以後約等於50萬的。那麼去掉部分的最高位是5或更大的數，495000，要使它最小，就是495000.

一、數與計算

知識點

(一)整數數位順序表

數位…千億位百億位十億位億位千萬位百萬位十萬位萬位千位百位十位個位

數級億級萬級個級

計數單位…千億百億十億億位千萬百萬十萬萬千百十個

1.每相鄰的兩個計數單位之間的進率都是十(十進關係)，這種計數方法叫做十進制計數法。

2.10個一萬是十萬，10個十萬是一百萬，10個一百萬是一千萬，10個一千萬是一億。

3、個級的數表示的是多少個“一”。萬級的數表示多少個“萬”。億級的數表示多少個“億”。

4、自然數：表示物體個數的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11…都是自然數。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。

最小的自然數是0。沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。

5、每個數位上最大與最小的數

最大的一位數是9，最小的'一位數是1……

(二)讀數：讀數時，先分級，然後從高位到低位先讀億級，再讀萬級，最後讀個級。讀億級或萬級的數按照個級的讀法讀，再在後面加上一個“億”字或“萬”字。數中間有一個0或連續有幾個0，都只讀一個零，每級末尾的零都不讀。(讀數用中國小寫)

(三)寫數：先寫億級，再寫萬級，最後寫個級，哪一位上一個單位也沒有，就寫0佔位。(寫數用阿拉伯數字)

1、省略與改寫

數的改寫：為了讀寫方便，把整億、整萬地數改寫成用“億”、“萬”做單位的數。方法：去4個0添“萬”，去8個0添“億”。(用“=”)

省略尾數(求近似數)：先分級，再看省略的最高位上的數，用四捨五入法進一或捨去。省略億位後面的尾數時，要看千萬位，省略萬位後面的尾數時，要看千位。(用“≈”)

2、準確數和近似數

⑴在實際問題中，有些數據是與實際完全符合的準確數。如：四甲班有44個男同學，29個女同學。這裏的“44”“29”都是準確數。

⑵還有些數據，只是與實際大體符合的近似數。我們在測定物體的長度、質量時，由於測量工具的限制，必然會產生誤差，所得的結果都是近似數。如：小明身高140釐米，體重35千克。這裏的“140”、“35”都是近似數。

⑶在對大的數目在進行統計時，一般也只需要用它的近似數來表示。如：平常説一個城市有50萬人，一個鋼鐵廠去年產鋼120萬噸。這裏的“50萬”、“120萬”都是近似數。

“四捨五入”法：4、3、2、1、0捨去;5、6、7、8、9捨去後向前一位進1。

用“=”和“≈”的區別：

7580000=758萬7508000≈751萬

9000000000=90億9420000000≈94億

(四)比較數的大小：位數不同，位數多的數就大;位數相同，左起第一位的數大的那個數就大，如果左起第一位上的數相同，就比較左起第二位上的數……

區分：“>”(大於)“<”“>”(小於)

聯繫：開口方大(左邊大用“>”，右邊大用“>”)

(五)性質

1、在乘法裏，一個因數不變，另一個因數乘幾或除以幾，積也要乘幾或除以幾。

因數(+-×÷)因數(+-×÷)積(+-×÷)

2、在除法裏，被除數和除數同時擴大或縮小相同倍數(0除外)，商不變。

在除法裏，除數不變，被除數變大，商也變大。

在除法裏，被除數不變，除數變大，商反而變小。

3、“除以”≠“除”

180÷30：可看作180除以30或30除180。

(六)計算

1、計算工具

古時：“實物”、“結繩”“刻道”等方法來記數的。

14世紀：中國發明瞭算盤。

現在：電子計算器。

清除鍵(CE) 開關及清屏鍵(ON/C)

2、口算：口算就是用腦計算，用口頭敍述來記憶當時的結果。會算法—明算理—練速度—啟智慧

3、估算：估算基本方法的內涵就是：接近準確值(符合實際)，計算方便(將兩個因數看成整十、整百或幾百幾十的數，口算出結果)。

4、筆算

在筆算除法時，把除數看做整十數，想這個整十數乘幾，積小於並且最接近被除數，就商幾或用幾試商。

從被除數的高位除起，先看被除數的前兩位;如果前兩位比除數小，就要看前三位;除到被除數的哪一位，商就寫在那一位的上面;餘下的數必須比除數小

兩位數乘法，先用一個乘數個位上的數去乘另一個乘數，得數的末尾和個位對齊;再用這個乘數十位上的數去乘另一個乘數，得數的末尾和十位對齊，最後把兩次乘得的積加起來。

末尾有0的乘法，先把0前面的數相乘，乘完以後再看乘數末尾共有幾個0，就在乘得的數的末尾填寫幾個0。

5、驗算

因數×因數=積因數=積÷因數

被除數÷除數=商除數=被除數÷商

被除數=除數×商

被除數÷除數=商……餘數

除數=(被除數-餘數)÷商

被除數=除數×商+餘數

二、空間與圖形

(一)線段、射線和直線

圖形區別聯繫

端點長度延長情況

線段2可以度量不能延長都是直的

線段是直線的一部分

射線1無限長向一端無限延長

直線0無限長向兩端無限延長

過一點可以畫無數條直線。兩點確定一條直線。

從一點出發可以畫無數條射線。

(二)角：從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。角的符號用“∠”表示。

1、量角：量角的大小，要用量角器。角的計量單位是“度”。用符號“°”表示。

角的大小與角的兩邊畫出的長短沒有關係，角的大小要看兩條邊叉開的大小。

2、角的分類：①鋭角：小於90°②直角：等於90°③鈍角：大於90°而小於180°④平角：等於180°⑤周角：等於360°

鋭角<直角<鈍角<平角<周角

3、畫角：①畫一條射線，兩重合(中心—端點零刻度線—射線);②找點;③畫另一條射線。

一幅三角板能拼出的角有：

15°=45°-30°75°=45°+30°105°=45°+60°120°=90°+30°135°=45°+90°150°=60°+90°165°=180°-(45°-30°)

4、鐘錶每一小時是30°，2小時的夾角就是60°。

5、三角形內角之和是180°，四邊形內角之和是360°。

(三)平行和垂直

1、在同一個平面內不相交的兩條直線叫做平行線，也可以説這兩條直線互相平行。

2、如果兩條直線相交成直角，就説這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

線與線之間的關係(平行、相交)

4、從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做這點到直線的距離。

5、平行線之間的距離處處相等。

第二部分乘除法的計算及應用

一、乘法：

當因數的末尾有0是，積的末尾也一定有0.因數末尾有幾個0，積的末尾不一定有相同個數的0.

1、熟練根據乘法口決進行計算。如：2300×90670×300

方法：先不看末尾的零，進行口算，然後看兩個因數末尾一共有幾個，就在積的末添上幾個零。

注意：要細心計算，不要漏掉末尾的零。算好後注意驗算。考試時可用筆算。

2、估算：把兩個因數分別看成整十數或者整百數，然後口算或筆算出答案。

估算的方法有很多種，什麼時候應估大些，什麼時候估小些，不能全部機械地採用“四捨五入”的方法，要根據不同情況選擇不同的方法，必須符合以下兩個要求：一是接近準確值(符合實際);二時計算方便(將兩個因數看成整十、整百或幾百幾十的數)

如：63×211

63×211≈60×200=12000一般中間過程不用寫，直接寫成63×211≈12000

例如：94×41≈3600

3、積的變化規律：

A：一個因數不變，另一個因數乘幾或除以幾(0除外)，積也乘或除以相同的幾。

B:一個因數乘或除以幾(0除外)，另一個因數除以或乘相同的數，積不變。

C:例：一個因數乘4，另一個因數乘3，積要乘4×3。一個因數除以4，另一個因數除以5，積要除以4×5。

D：一個因數乘4，另一個因數除以2，積就乘4除以2(乘2)。一個因數乘3，另一個因數除以6，積乘3除以6(除以2倍)。

題目舉例：

根據34×12=408，直接寫出下列算式的得數。

17×617×2468×668×2468×4868×660×6860×3424×3424×17

二、除法

1、口算除法：整十數除整十數和幾百幾十數的口算方法有兩種：一是根據乘除法的關係用乘法算除法，另一種是用表內除法計算。

2、估算：被除數或出書是接近整十數或幾百幾十的數，要用“四捨五入”法把它們看成接近它們的整十數和幾百幾十數來估算。

234÷21把被除數和除數估成倍數關係，然後口算或筆算出答案。

234÷21≈240÷20=12一般中間過程不用寫，直接寫成234÷21≈12

例如：479÷60≈8

3、筆算

A、判斷商是幾位數

要領：除到哪位商哪位。

一個數除以一個兩位數，看被除數的前兩位。

如：234÷21看234的前兩位是23比除數21大，所以商的最高位應該寫在3上面，商是兩位數。

204÷21看204的前兩位是20比除數21小，所以商的最高位應該寫在4上面，商是一位數。4209÷43看4209的前兩位是42比除數43小，所以商的最高位應該寫在0上面，商是兩位數。

4509÷43看4409的前兩位是45比除數43大，所以商的最高位應該寫在5上面，商是三位數。

B、列豎式計算：除數是兩位數的筆算除法的計算方法是：

a、從被除數的高位除起，先用除數試除被除數的前兩位，如果前兩位比除數小，在試除前三位。b、除到被除數的哪一位就把商寫在那一位上面。

C、每求出一位商，餘下的數必須比除數小。65×123這種是最普通的乘法筆算

409×34中間有零的乘法筆算3400×670末尾有零的乘法筆算

450÷50沒有餘數，末尾有零的除法。可以用45÷5的方法來做。

第三部分空間與圖形

一、直線、射線、線段和角

1、直線：直線沒有端點，可以向兩端無限延伸，不能量出長度，無限長。

2、線段：線段有兩個端點，不能延伸，能夠量出長度，有限長。

3、射線：射線有一個端點，可以向一端無限延伸，不能量出長度，無限長。

直線、線段、射線的區別和聯繫：

直線線段射線

端點0個2個1個

延伸兩端都可延伸不可延伸一端可以延伸

長度無限長，不可度量可度量，有限長無限長

從一點出發，可以畫無數條射線。經過兩點，只能畫一條直線。

4、角：從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。角的符號：∠

角的大小與兩邊的長短無關，與角兩邊叉開得大小有關，叉開得越大，角就越大，叉開得越小，角就越小。

大於0°，小於90°的角叫鋭角;等於90°的角叫直角;大於90°，小於180°的角叫鈍角;等於180°的角叫平角;等於360°的角叫周角。鋭角<直角<鈍角<平角<周角

1個周角=2個平角=4個直角，1個平角=2個直角

三、平行和垂直

1、在同一平面內，兩條直線的位置關係有平行與相交兩種，其中相交又分為垂直和斜交兩種。

2、平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

3、垂直於同一條直線的兩條直線互相平行。

4、平行線之間的距離處處相等。

5、從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做點到直線的距離。

6、在生活中的應用

量跳遠的成績、修水渠、量跳高的成績等都是應用點到直線的距離(垂直)

四、平面圖形

1、由四條線段圍城的封閉圖形叫做四邊形，四邊形的內角和是360°。三角形的內角和是180°。

2、兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形對邊平行且相等，對角相等。平行四邊形具有不穩定性。

3、四條邊相等的平行四邊形叫菱形。菱形、長方形、正方形都是特殊的平行四邊形。正方形是特殊的長方形。

4、只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。當一條腰與上底、下底垂直時，這個梯形是直角梯形。

5、當梯形的上底和下底變得一樣長時，梯形就變成了一個平行四邊形;當梯形的上底變為0時，梯形就變成了一個三角形。

6、兩個完全一樣的平行四邊形可以拼成一個平行四邊形;兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形;兩個完全一樣的三角形也可以拼成一個平行四邊形。

7、平行四邊形一條邊上的一點到對邊引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂

足所在的邊叫做平行四邊形的底。

8、在梯形裏，互相平行的一組對邊叫做梯形的底(一般把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底);不平行的一組對邊叫做梯形的腰;梯形的高是上底、下底之間的垂直線段。

五、軸對稱

對摺後兩邊能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形，摺痕所在的直線就是對稱軸。

平行四邊形不是軸對稱圖形。菱形、長方形、正方形都是軸對稱圖形。等腰梯形是軸對稱圖形。

六、動手操作

1、畫角：①畫一條射線，

②把量角器的中心點與射線的端點重合，零刻度線與射線重合，

③在量角器上找到要畫的角的度數，標點，

④連接所標點與射線的端點，標上角，寫上度數。

三角板畫角：30°+45°=75°;30°+90°=120°;45°+60°=105°;

45°+90°=135°：90°+60°=150°;60°-45°=15°。

2、量角：①把量角器的中心點與角的頂點重合，

②把量角器的零刻度線與角的一條邊重合，

③角的另一條邊與量角器上的刻度線重合，刻度線所對應的度數就是角的度數。

3、畫平行線：①畫已知直線的平行線可以畫無數條，過直線外一點畫已知直線的平行線只能畫一條。

②畫平行線的方法：一貼(三角尺的一條直角邊與已知直線重合)

二靠(直尺靠着三角尺的另一條直角邊)

三移(三角尺平移到點所在的位置)

四畫(畫平行線)

4、畫垂直(畫點到直線的距離)

①畫已知直線的垂線可以畫無數條，過直線外一點畫已知直線的垂線只能畫一條。

②畫垂線的方法是：①、邊線重合(三角尺的直角邊與已知直線重合)

②、平移

③、邊點重合(三角尺的另一條直角邊與點重合)

5、畫平行四邊形和梯形

6、圖形分割或拼組(將一個平行四邊形分成兩個梯形)

7、畫平行四邊形或梯形的高，標出高和底。

①平行四邊形和梯形高的畫法與過直線外一點畫已知直線的垂線的方法相同，這點和垂足之間的線段就是圖形的高。梯形的高只能從相互平行的兩條底中任意一底上的點向它的對邊畫垂線，而不能在梯形的腰上畫高。平行四邊形和梯形的高可以畫無數條。

②平行四邊形能畫出兩種長度的高，梯形只有一種長度的高。

④畫高要注意：(1)所畫的高要用虛線表示。

(2)一定要畫垂直符號。

(3)一般要把高畫在圖形內。

9、數圖形

750÷90有餘數，用75÷9的方法來做的話，餘數末尾要添零。

考試時，只要題目不要求簡算，就可以直接用750÷90進行筆算。

4、商不變性質：

被除數和除數同時乘或者除以相同的數(0除外)，商不變。

5、商的變化規律：

A、被除數不變，除數除以幾，商反而乘幾。被除數不變，除數乘幾，商反而除以幾。

B、除數不變，被除數乘幾，商也乘幾。除數不變，被除數除以幾，商也除以幾。

6、應用

1、幾個數量關係式

①速度×時間=路程路程÷速度=時間路程÷時間=速度

(速度單位：千米/時、米/時、千米/分、米/分、千米/秒、米/秒)

②單價×數量=總價總價÷數量=單價總價÷單價=數量

③工作效率×工作時間=工作總量工作總量÷工作效率=工作時間工作總量÷工作時間=工作效率

④平均數×份數=總數總數÷份數=平均數總數÷平均數=份數

三位數乘兩位數知識點：

1、三位數乘兩位數的方法：先用一個因數的個位與另一個因數的每一位依次相乘，再用這個因數的十位與另一個因數的每一位依次相乘，乘到哪一位，積的個位就與哪一位對齊，哪一位滿十就向前一位進“1”，再把兩次相乘的積加起來。末尾有0時，把兩個因數0前面的數對齊，並將它們相乘，再在積的後面添上沒有參加運算的幾個0。中間有0時，這個0要參加運算。

2、因數和積的變化規律：一個因數不變，另一個因數擴大(或縮小)若干倍，積也擴大(或縮小)相同的倍數。

3、因數是兩、三位數的乘法的估算方法：先把兩個因數的最高位後面的尾數省略，求出近似數，再把這兩個近似數相乘。

補充知識點

1、估算方法。用四捨五入法進行估算。估算是往大估還是往小估?也就是估算的方法問題;

2、利用豎式計算三位數乘兩位數。注意，第二步的乘積末尾寫在十位上。

3、因數中間或末尾有0的三位數乘兩位數。

中間有0也要和因數分別相乘;

末尾有0的，要將兩個因數0前面數的末位對齊，用0前面的數相乘，乘完之後在落0，有

幾個0落幾個0。

實際生活中的估算生活中的實際問題(估算是往大估還是往小估?)

A、350名同學要外出參觀，有7輛車，每輛車有56個座位，估一估要幾輛車?

B、橋在重量3噸，貨物共6箱，每箱重285千克，車重986千克，這輛車能過去嗎?

知識點:

估算的方法及注意事項：要將因數估成整十、整百或整千的數。估算時注意，要符合實際，接近精確值。