教你如何提高數學成績

一. 教學內容：分類計數原理與分步計數原理、排列

二. 教學重、難點：

1. 分類計數原理，分步計數原理

2.

【典型例題

[例1] 有三個袋子，其中一個袋子裝有紅色小球20個，每個球上標有1至20中的一個號碼，一個袋子裝有白色小球15個，每個球上標有1至15中的一個號碼，第三個袋子裝有黃色小球8個，每個球上標有1至8中的一個號碼。

（1）從袋子裏任取一個小球，有多少種不同的取法？

（2）從袋子裏任取紅、白、黃色球各一個，有多少種不同的取法？

解：

（1）任取一個小球的方法可分三類，一類取紅球，有20種取法；一類取白球，有15種取法；一類取黃球，有8種取法。由分類計數原理共有20 15 8=43種不同取法。

（2）取三色小球各一個，可分三步完成，先取紅球。有20種取法；再取白球，有15種取法；最後取黃球，有8種取法。由分步計數原理，共有 種不同的取法。

[例2] 在所有的兩位數中，個位數字比十位數字大的兩位數有多少個？

解：分析個位數字，可分以下幾類：

個位是9，則十位可以是1，2，3，……，8中的一個，故有8個；

個位是8，則十位可以是1，2，3，……，7中的一個，故有7個；

與上同樣。

個位是7的有6個；

個位是6的有5個；

……

個位是2的只有1個。

由分類計數原理知，滿足條件的兩位數有 （個）

[例3] 如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相聯，連線標註的數字，表示該網線單位時間內可以通過的最大信息量，現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為多少？

解：沿12?D5?D3路線傳遞的信息最大量為3（單位時間內），沿12?D6?D4路線傳遞信息的最大量為4……由於以上每個線路均能獨立完成這件事（傳遞信息），故單位時間內傳遞的最大信息量為3 4 6 6=19。

[例4] 用6種不同的顏色對下圖中5個區域塗色，每個區域塗一種顏色，相鄰的區域不能同色，那麼共有多少種不同的塗色方法？

解：分五步進行，第一步給5號域塗色有6種方法

第二步給4號塗有5種方法

第三步給1號塗有5種方法

第四步給2號塗有4種方法

第五步給3號塗有4種方法

根據分步計數原理，共有 值

（1） ；（3） 。

解：（1）由排列數公式，

得

整理得 或 （捨去） ∴

解得

（3）由排列數公式，得 ∴ ；

（2）

∴

（3）∵

[例7] 由0，1，2，3，4，5共六個數字可組成多少個沒有重複數字且能被5整除的六位數？

解：組成的六位數與順序有關，但首位不能排0，個位必須排0或5，因此分兩類：第一類：個位必須排0，此時前五位數由1，2，3，4，5共五個數字組成，這五個數字的每一個排列對應一個六位數，故此時有 個六位數。第二類：個位數排5，此時為完成這件事（構造出六位數）還應分兩步，第一步排首位，有4種排法，第二步排中間四位，有 個。

[例8] 用0，1，2，3，4五個數字組成的無重複數字的五位數中，其依次從小到大的排列。

（1）第49個數是多少？（2）23140是第幾個數？

解：（1）1、2是首數時各組成 個；2在萬位，0、1在千位的共有 個，還有23104比23140小，故23140是第 種方法，然後讓剩下的5個人（其中包括甲）站在中間的5個位置，有 種站法。

方法二：因為甲不在兩端，分兩步排隊，首先排甲，有 種方法，第二步讓其他6人站在其他6個位置上，有 種方法，第二步讓甲插入這6個人之間的空當中，有 種，故共有 種站法。

方法四：在排隊時，對7個人，不考慮甲的站法要求任意排列，有 種方法，因此共有 種排法，再考慮其餘5個元素的排法有 種。

方法二：甲、乙兩人不能站在兩端，應包括同時不在兩端，某一人在兩端，故用排異法，應減去兩種情況，同時在兩端，有 種不同站法。

（3）分三步：第一步，從甲、乙以外的5個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有 種方法，第三步，對甲、乙進行全排列，故共有 種不同站法。

（4）方法一：男生站在前4個位置上有 種站法，男女生站成一排是分兩步完成的，因此這種站法共有 種站法，這兩種站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 種排法，然後排四名男生，有 種排法，根據分步計數原理，將四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 種排法，在四名男生間的三個間隔共有三個位置安排三名女生，有 種排法符合要求，故四名男生三名女生相間排列的排法共有 種。

（6）在7個位置上任意排列7名學生，有排法 中每一種情況均以 種。

[例10] 某班開設的課程有語文、數學、英語、政治、物理、化學、生物、體育共8門。若星期一上午排4節不同的課，並且規定體育課不能排在第一節及第四節，那麼星期一上午該班的課程表有多少種不同的排法？

解：若不排體育課，則有 ，且A中至少有一個奇數，則這樣的集合有（ ）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 高中物理 5個

2. 書架上、下兩層分別放有5本不同的數學書和4本不同的語文書，從中選兩本數學書和一本語文書，則不同的選法有 種（ ）

A. 9 B. 13 C. 24 D. 40

3. 不等式 B. 或 或

4. 已知 的值為（ ）

A. 7 B. 2 C. 6 D. 8

5. 2個男生和4個女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有（ ）

A. 種

C. 種

6. 27位女同學排隊照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，則所有不同的排法種數為（ ）

A.

C.

二. 解答題

1. （1）某教學樓有三個不同的樓梯，4名學生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？（2）有4名同學要爭奪3個比賽項目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能？

2. 現有高一年級四個班學生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自願組成數學課外小組。

（1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？

（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？

（3）推選兩人作中心發言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

3. 解下列各式中的 值。

（1） （2）

【試題答案】

一. 選擇題

1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C

二. 解答題

1. 解：

（1）4名學生分別下樓，即問題分4步完成。每名學生都有3種不同的下樓方法，根據分步計數原理，不同的下樓方法共有 種。

（2）確定3項冠軍人選可逐項完成，即分3步，第1項冠軍人選有4種可能，第2項與第3項也均有4種可能，根據分步計數原理：冠軍獲得者共有 （種）

（2）分四步，易知不同的選法總數

（種）

（3）分六類，每類又分兩步，從一、二班學生中各選1人，有 種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有 種不同選法；從一、四班學生中各選1人，有 種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有 種不同的選法，所以共有不同的選法數

∴

∴ （舍）

（2）

∴ （舍）

4. 解：

（1）先排乙有2種方法，再排其餘5位同學有 種排法。

（4） 種排法。

（5） 種排法。

（6）7個學生的所有排列中，3名女生交換順序得到的排列只對應一個符合題意的排隊方式，故共有 種排法。

等差數列的前n項和訓練題

1．若一個等差數列首項為0，公差為2，則這個等差數列的前20項之和為( )

A．360 B．370

C．380 D．390

答案：C

2．已知a1＝1，a8＝6，則S8等於( )

A．25 B．26

C．27 D．28

答案：D

3．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a6＝S3＝12，則{an}的通項an＝________.

解析：由已知a1＋5d＝123a1＋3d＝12a1＝2，d＝2.故an＝2n.

答案：2n

4．在等差數列{an}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.

解：d＝a7－a57－5＝20－142＝3，

a1＝a5－4d＝14－12＝2，

所以S5＝5a1＋a52＝52＋142＝40.

一、選擇題

1．(2011年杭州質檢)等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＝1，a3＝3，則S4＝( )

A．12 B．10

C．8 D．6

解析：選C.d＝a3－a2＝2，a1＝－1，

S4＝4a1＋4×32×2＝8.

2．在等差數列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，則a10＝( )

A．24 B．27

C．29 D．48

解析：選C.由已知2a1＋5d＝19，5a1＋10d＝40.

解得a1＝2，d＝3.∴a10＝2＋9×3＝29. X k b 1 . c o m

3．在等差數列{an}中，S10＝120，則a2＋a9＝( )

A．12 B．24

C．36 D．48

解析：選B.S10＝10a1＋a102＝5(a2＋a9)＝120 高中物理.∴a2＋a9＝24.

4．已知等差數列{an}的公差為1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，則a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( )

A．99 B．66

C．33 D．0

解析：選B.由a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，

得99a1＋99×982＝99.

∴a1＝－48，∴a3＝a1＋2d＝－46.

又∵{a3n}是以a3為首項，以3為公差的等差數列．

∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝33a3＋33×322×3

＝33(48－46)＝66.

5．若一個等差數列的前3項的和為34，最後3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有( )

A．13項 B．12項

C．11項 D．10項

解析：選A.∵a1＋a2＋a3＝34，①

an＋an－1＋an－2＝146，②

又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，

∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③

Sn＝a1＋ann2＝390.④

將③代入④中得n＝13.

6．在項數為2n＋1的等差數列中，所有奇數項的和為165，所有偶數項的和為150，則n等於( )

A．9 B．10

C．11 D．12

解析：選B.由等差數列前n項和的性質知S偶S奇＝nn＋1，即150165＝nn＋1，∴n＝10.

二、填空題

7．設數列{an}的首項a1＝－7，且滿足an＋1＝an＋2(n∈N*)，則a1＋a2＋…＋a17＝________.

解析：由題意得an＋1－an＝2，

∴{an}是一個首項a1＝－7，公差d＝2的等差數列．

∴a1＋a2＋…＋a17＝S17＝17×(－7)＋17×162×2＝153.

答案：153

8．已知{an}是等差數列，a4＋a6＝6，其前5項和S5＝10，則其公差為d＝__________.

解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6.①

S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10.②w

由①②得a1＝1，d＝12.

答案：12

9．設Sn是等差數列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.

解析：由等差數列的性質知S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1.

又∵a5＋a12＝a1＋a16＝－9，

∴S16＝16a1＋a162＝8(a1＋a16)＝－72.

答案：－72

三、解答題

10．已知數列{an}的前n項和公式為Sn＝n2－23n－2(n∈N*)．

(1)寫出該數列的第3項；

(2)判斷74是否在該數列中．

解：(1)a3＝S3－S2＝－18.

(2)n＝1時，a1＝S1＝－24，

n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－24，

即an＝－24，n＝1，2n－24，n≥2，

由題設得2n－24＝74(n≥2)，解得n＝49.

∴74在該數列中．

11．(2010年課標全國卷)設等差數列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.

(1)求{an}的通項公式；

(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值．

解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得

a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，可解得a1＝9，d＝－2，

所以數列{an}的通項公式為an＝11－2n.

(2)由(1)知，Sn＝na1＋nn－12d＝10n－n2.

因為Sn＝－(n－5)2＋25，

所以當n＝5時，Sn取得最大值．

12．已知數列{an}是等差數列．

(1)前四項和為21，末四項和為67，且各項和為286，求項數；

(2)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.

解：(1)由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，

所以a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.

所以a1＋an＝884＝22.

因為Sn＝na1＋an2＝286，所以n＝26.

(2)因為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數列，

所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.

　　如何提高數學成績？

1、按部就班

數學是環環相扣的一門學科，哪一個環節脱節都會影響整個學習的進程。所以，平時學習不應貪快，要一章一章過關，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。

2、強調理解

概念、定理、公式要在理解的基礎上記憶。每新學一個定理，嘗試先不看答案，做一次例題，看是否能正確運用新定理；若不行，則對照答案，加深對定理的理解。

3、基本訓練

學習數學是不能缺少訓練的，平時多做一些難度適中的練習，當然莫要陷入死鑽難題的誤區，要熟悉大學聯考的題型，訓練要做到有的放矢。

4、重視平時考試出現的錯誤。

訂一個錯題本，專門蒐集自己的錯題，這些往往就是自己的薄弱之處。複習時，這個錯題本也就成了寶貴的複習資料。

數學的學習有一個循序漸進的過程，妄想一步登天是不現實的。熟記書本內容後將書後習題認真寫好，有些同學可能認為書後習題太簡單不值得做，這種想法是極不可取的，書後習題的作用不僅幫助你將書本內容記牢，還輔助你將書寫格式規範化，從而使自己的解題結構緊密而又嚴整，公式定理能夠運用的恰如其分，以減少考試中無謂的失分。

如何學好數學

首先和敏捷對於來説固然重要，但良好的可以把效果提高几倍，這是先天因素不可比擬的。學好首先要過的是關。任何事情都有一個由量變到質變的循序漸進的積累過程。

一．。不等於瀏覽。要深入瞭解內容，找出重點，難點，疑點，經過思考，標出不懂的，有益於抓住重點，還可以培養自學，有時間還可以超前學習。

二．聽講。核心在。1。以聽為主，兼顧記錄。2。注重過程，輕結論。

3．有重點。4。提高聽課。

三．。像演電影一樣把課堂，整理筆記，

四．多做練習。1。晚上吃飯後，坐到書桌時，看數學最適合，2。做一道數學題，每一步都要多問個別為什麼，不能只滿足於課堂上的灌輸式傳授和書本上的簡單講述，要想提高必須要一步一步推 高中歷史，一步一步想，每個過程都必不可少，3。不要粗心大意，4。做完每一道題，要想想為什麼會想到這樣做，建立一種條件發射，關鍵在於每做一道題要從中得到東西，錯在哪，5。解題都有固定的套路。6還有大膽的誇獎自己，那是樹立信心的關鍵時刻，

五．總結。1。要將所學的知識變成知識網，從大主幹到分枝，清晰地深存在腦中，新題想到老題，從而一通百通。2。建立錯誤集，錯誤多半會錯上兩次，在有意識改正的情況下，還有可能錯下去，最有效的應該是會正確地做這道題，並在下次遇到同樣情況時候有注意的意識。3。週末再將一週做的題回頭看一番，提出每道題的思路方法。4有問題一定要問。

六．考前複習，1。前2周就要開始複習，做到心中有數，否則會影響發揮，再做一遍以前的錯題是十分必要的，據説有一個同學平時只有一百零幾，離只有一個月，把以前錯題從頭做一遍，最後他數學居然得了147分。2。要重視基礎，

另外，聽老師的話，勤學苦練不可少，沒有捷徑，要樂觀，有毅力，要有決心，還要有耐心，學數學是一個很長的過程，你的努力於回報往往不能那麼盡如人意的成正比，甚至會有下坡路的趨勢，但只要堅持下去，那條成績線會抬起頭來，一定能看到光明。

第一章《空間幾何體》測試題（二）

三、解答題

11.把一個圓錐截成圓台，已知圓台的上、下底面半徑的比是1∶4，母線長10cm，求圓錐的母長.

考查目的：考查圓錐、圓台的概念和性質.

答案：cm.

解析：設圓錐的`母線長為，圓台的上、下底半徑分別為.

12.畫出下列空間幾何體的三視圖：

考查目的：考查由直觀圖畫三視圖.

答案：⑴的三視圖如下：

⑵的三視圖如下：

解析：注意直觀圖與三視圖之間的關係，特別是各方向線段之間的比例轉化.

13.已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的，求這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值.

考查目的：考查幾何體的體積的計算，通過球這個載體考查空間想象能力及推理運算能力.

&nbsp 高三;

答案：.

解析：(畫出圖形，利用數形結合然後利用球及圓的性質求解)

如圖，設球的半徑為，圓錐的底面圓的半徑為，依題意得，即，∴，∴，∴，，∴.

14.(2010遼寧理)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三稜錐形的鐵架，則的取值範圍是多少？

考查目的：考查空間想象能力以及靈活運用知識解決數學問題的能力.

答案：.

解析：根據條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為的直鐵條要組成三稜錐形的鐵架，有以下兩種情況：⑴地面是邊長為2的正三角形，三條側稜長為2，，，如圖1，可知，，則，即，∴.

⑵構成三稜錐的兩條對角線長為，其他各邊長為2，如圖2，此時.

綜上可得，.

15.一個正四稜台的兩底面邊長分別為，側面積等於兩個底面積之和，求這個稜台的體積.

考查目的：考查運用稜台公式進行綜合計算的能力.

答案：.

解析：如圖所示，設分別為下、上底面中心，分別為下、上底邊的中點，連結，，過作於，那麼，得.

在直角三角形中，，即稜台的高為，∴體積為.

大學聯考數學最後衝刺六大注意事項

一、重點、查缺補漏。對前幾次各區模擬分類梳理、整合，既可按分類，也可按思想分類。強化聯繫、形成網絡結構，以少勝多，以不變應萬變。

二、查找錯題，分析病因，對症下藥。查錯題，分析病因，對症下藥，這是重點。

三、閲讀《説明》和《試題分析》，確保沒有知識盲點 。

四、注意基礎複習。迴歸課本、迴歸基礎、迴歸近年數學試題，把握通性通法 。

五、重視書寫表達的規範性和簡潔性 。重視書寫表達的規範性和簡潔性，掌握各類常見題型的表達模式，避免“會而不對、對而不全”現象的出現，力爭既對又全。

六、不要做難題 。臨考前應做一定量中、低檔題，以達到熟練基本方法、典型問題的目的,高中政治，一般不再做難題，要保持清醒的頭腦和良好的解題狀態。

扣在桌上的紙牌

八張編了號的紙牌扣在桌上，它們的相對位置如下圖所示：

1

2

3

4

5

6

7

8

關於這八張牌：

（1）其中至少有一張Q。

（2）每張Q都在兩張K之間。

（3）至少有一張K在兩張J之間。

（4）沒有一張JQ相鄰。

（5）其中只有一張A。

（6）沒有一張K與A相鄰。

（7）至少有一張K和另一張K相鄰。

（8）這八張牌中只有K、Q、J和A這四張牌。

這八張牌中哪一張是A？

（提示：哪幾張紙牌可能是Q？)

答 案

根據{（1）其中至少有一張Q。}和{（2）每張Q都在兩張K之間。}，在下列判斷中有一條且只有一條是對的：

（a）3號牌和6號牌是Q；

（b）只有3號牌是Q；

（c）只有6號牌是Q；

（d）只有4號牌是Q。

如果3號牌和6號牌都是Q，則有下列兩種可能（X代表未知的牌）：

X

X

K

Q

K

K

Q

K

K

Q

K

X

Q

X

X

K

但這兩種可能都不符合{（3）至少有一張K在兩張J之間。}，因此判斷（a）是不對的。

如果只有3號牌是Q，則6號牌就不可能是K，這是因為根據（3），一定有一張K在兩張J之間，而{（4）沒有一張JQ相鄰。}在這裏又不允許這種情況發生。根據前面的推理，6號牌不能是Q。根據（3）和{（6）沒有一張K與A相鄰。}，6號牌又不能是A。因此6號牌只能是J。但這樣（3）和{（7）至少有一張K和另一張K相鄰。}不能同時得到滿足。因此判斷（b）也是不對的。

如果只有6號牌是Q．則有下列兩種可能：

X

X

X

X

X

X

X

K

K

Q

K

X

Q

X

X

K

在第一種可能中，（3）和（4）不能同時得到滿足；在第二種可

能中，（3）得不到滿足。因此，判斷（c）也是不對的。

於是，只有判斷（d）是正確的：只有4號牌是Q。

接下來根據（2），l號牌和6號牌是K。根據（3），5號牌和7號牌是J。

因此必定是下面這種情況：

K

X

X

Q

J

K

J

X

如果為了滿足（7），設2號牌和3號牌都是K，則根據（5），8號牌就是A。但（6）不允許這種情況發生。因此8號牌是（7）所要求的與一張K相鄰的K。

如果2號牌是一張A，則3號牌不能是Q（根據（2））不能是K（根據（6）），不能是J（根據（4））也不能是A（根據{（5）其中只有一張A。}）。因此根據{（8）這八張牌中只有K、Q、J和A這四張牌。}，2號牌不能是A。根據（5），3號牌一定是那張唯一的A。

根據（2）、（5）和（6），2號牌一定是J。

所有的紙牌情況如下：

K

高中歷史

J

A

Q

J

K

J

K