2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷及答案

大學聯考是全國性的考試，備戰大學聯考的複習很重要，我們需要多做一些大學聯考模擬試題，以下是本站小編為你整理的2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷，希望能幫到你。

　　2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷題目

一、填空題(55分)本大題共有11題，要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分.

1.已知集合 ， ，則 ________.

2.若實數 ， 滿足約束條件 則 的最大值等於________.

3.已知 展開式中 的係數為84，則正實數 的值為 .

4.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率為________.

5.設 為R上的奇函數.當 時， ( 為常數)，則 的值為________.

6.設 分別為直線 ( 為參數)和曲線 ： ( 為參數)的點，則 的最小值為 .

7.各項均不為零的數列 的前 項和為 . 對任意 ，

都是直線 的法向量.若 存在，則實數 的取值範圍是________.

8.已知正四稜錐 的稜長都相等，側稜 、 的中點分別為 、 ，則截面 與底面 所成的二面角的餘弦值是________.

9.設 ，若對於任意的 ，都有 ，則 的取值範圍是________.

10.若適合不等式 的 的最大值為3，則實數 的值為_______.

11.已知 ，數列 滿足 ，對於任意 都滿足 ，且 ，若 ，則 的值為_________.

二、選擇題(20分)本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號塗黑，選對得5分，否則一律得零分.

12.已知 則“ ”是“ ”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

13.已知複數 滿足 ( 是虛數單位)，則 的虛部為( ).

A. B.-1 C.1 D.- [

14.當 時，方程 的根的個數是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

15.曲線 為：到兩定點 、 距離乘積為常數 的動點 的軌跡.以下結論正確的個數為( ).

(1)曲線 一定經過原點;

(2)曲線 關於 軸對稱，但不關於 軸對稱;

(3) 的面積不大於8;

(4)曲線 在一個面積為60的矩形範圍內.

A.0 B.1 C.2 D.3

三、解答題(本題滿分75分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規定區域(對應的題號)內寫出必要的步驟.

16.(本題滿分12分，第1小題6分，第2小題6分)

如圖，等腰 ， ，點 是 的中點， 繞 所在的邊逆時針旋轉一週.

(1)求 旋轉一週所得旋轉體的體積 和表面積 ;

(2)設 逆時針旋轉至 ，旋轉角為 ，且滿足 ，求 .

17.(本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分)

設函數 .

(1)求函數 的最大值和最小正週期;

(2)設 、 、 為 的三個內角，若 ， ，求 .

18.(本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分)

某化工廠從今年一月起，若不改善生產環境，按生產現狀，每月收入為70萬元，同時將受到環保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以後每月增加2萬元.如果從今年一月起投資500萬元添加回收淨化設備(改造設備時間不計)，一方面可以改善環境，另一方面也可以大大降低原料成本.據測算，添加回收淨化設備並投產後的前5個月中的累計生產淨收入 是生產時間 個月的二次函數 ( 是常數)，且前3個月的累計生產淨收入可達309萬，從第6個月開始，每個月的生產淨收入都與第5個月相同.同時，該廠不但不受處罰，而且還將得到環保部門的.一次性獎勵100萬元.

(1)求前8個月的累計生產淨收入 的值;

(2)問經過多少個月，投資開始見效，即投資改造後的純收入多於不改造時的純收入.

19.(本題滿分16分，第1小題7分，第2小題9分)

設點 、 是平面上左、右兩個不同的定點， ，動點 滿足：

.

(1)求證：動點 的軌跡 為橢圓;

(2)拋物線 滿足：①頂點在橢圓 的中心;②焦點與橢圓 的右焦點重合.

設拋物線 與橢圓 的一個交點為 .問：是否存在正實數 ，使得 的邊長為連續自然數.若存在，求出 的值;若不存在，説明理由.

20.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題7分，第3小題7分)

已知等差數列 的前 項和為 ， ， 為整數，且對任意 都有 .

(1)求 的通項公式;

(2)設 ， ( )，求 的前 項和 ;

(3)在(2)的條件下，若數列 滿足 .是否存在實數 ，使得數列 是單調遞增數列.若存在，求出 的取值範圍;若不存在，説明理由.

　　2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷答案

一、1. ; 2.12; 3.2;

4.35; 5. 6. ;

7. ; 8.255; 9.

10.8; 11. .

二、12.A; 13.C; 14.C; 15.B.

三、16.解：(1) ;﹒﹒﹒3分

﹒﹒3分

(2)如圖建立空間直角座標系，得

， ，

由三角比定義，得 ﹒﹒﹒﹒1分

則， ， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

，得 ， ， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

所以， .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

16.解：(1)因為

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分

， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

所以，函數 的最大值為 ，最小正週期 . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

(2)由 ，得 ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

解得， 或 (捨去). ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

因此， . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

18.解：(1)據題意 ，解得 ，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

第5個月的淨收入為 萬元，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

所以， 萬元.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

(2)

即 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

要想投資開始見效，必須且只需

即 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

當 時，

即 不成立;﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

當 時， 即 ，﹒﹒﹒﹒2分

驗算得， 時， . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

所以，經過9個月投資開始見效. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

19.解：(1)若點 構成三角形則

，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

整理得 ，即 .1分

若點 不構成三角形，也滿足 .1分

所以動點 的軌跡為橢圓.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

(2)動點 的軌跡方程為 . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

拋物線的焦點座標為 與橢圓的右焦點 重合.

假設存在實數 ，使得 的邊長為連續自然數.

因為 ，

不妨設| ， . ﹒﹒﹒﹒﹒2分

由拋物線的定義可知 ，解得 ，﹒﹒﹒﹒﹒1分

設點 的座標為 ，

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

整理得 ，解得 或 .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

所以存在實數 ，使得 的邊長為連續自然數.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

20.解：(1)設 的公差為 ，由題意得 ， ﹒ ﹒﹒﹒2分

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

(2)當 為偶數時， . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

① 當 為奇數時 ，

.

當 時也符合上式. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

② 當 為偶數時， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分

﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分

(3)

由題意得， 對任意 都成立，

① 當 為奇數時， ，

當 時， ， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

② 當 為偶數時， ，

當 2時， ， .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分

綜上： .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分