2018屆蘇州市高三語文模擬試卷及答案

數學是大學聯考考試中的主科之一，我們可以通過多做一些數學模擬試卷來熟悉裏面的題型、對基礎知識的鞏固，以下是本站小編為你整理的2018屆蘇州市高三語文模擬試卷，希望能幫到你。

　　2018屆蘇州市高三語文模擬試卷題目

一.填空題：本大題共14小敗，每小題5分，共70分.不需要寫出解答過程

1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，則∁UM=　　.

2.若複數z滿足z+i= ，其中i為虛數單位，則|z|=　　.

3.函數f(x)= 的定義域為　　.

4.如圖是給出的一種算法，則該算法輸出的結果是

5.某高級中學共有900名學生，現用分層抽樣的方法從該校學 生中抽取1個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人，則該校高二年級學生人數為　　.

6.已知正四稜錐的底面邊長是2，側稜長是 ，則該正四稜錐的體積為　　.

7.從集合{1，2，3，4}中任取兩個不同的數，則這兩個數的和為3的倍數的槪率為　　.

8.在平面直角座標系xOy中，已知拋物線y2=8x的焦點恰好是雙曲線 ﹣ =l的右焦點，則雙曲線的離心率為　　.

9.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3，S9，S6成等差數列.且a2+a5=4，則a8的值為　　.

10.在平面直角座標系xOy中，過點M(1，0)的直線l與圓x2+y2=5交於A，B兩點，其中A點在第一象限，且 =2 ，則直線l的方程為　　.

11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若點P滿足 = + ，且 • =1，則實數λ的值為　　.

12.已知sinα=3sin(α+ )，則tan(α+ )=　　.

13.若函數f(x)= ，則函數y=|f(x)|﹣ 的零點個數為　　.

14.若正數x，y滿足15x﹣y=22，則x3+y3﹣x2﹣y2的最小值為　　.

二.解答題：本大題共6小題，共計90分

15.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=

(1)求邊c的長;

(2)求角B的大小.

16.如圖，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交於點O，E是稜AB上一點，且OE∥平面BCC1B1

(1)求證：E是AB中點;

(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.

17.某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC (如圖)，設計要求彩門的面積為S (單位：m2)•高為h(單位：m)(S，h為常數)，彩門的下底BC固定在廣場地面上，上底和兩腰由不鏽鋼支架構成，設腰和下底的夾角為α，不鏽鋼支架的長度和記為l.

(1)請將l表示成關於α的函數l=f(α);

(2)問當α為何值時l最小?並求最小值.

18.在平面直角座標系xOy中，已知橢圓 + =l (a>b>0)的焦距為2，離心率為 ，橢圓的右頂點為A.

(1)求該橢圓的方程：

(2)過點D( ，﹣ )作直線PQ交橢圓於兩個不同點P，Q，求證：直線AP，AQ的

斜率之和為定值.

19.己知函數f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a為正實數，且為常數)

(1)若f(x)在(0，+∞)上單調遞增，求a的取值範圍;

(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恆成立，求a的取值範圍.

20.己知n為正整數，數列{an}滿足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，設數列{bn}滿足bn=

(1)求證：數列{ }為等比數列;

(2)若數列{bn}是等差數列，求實數t的值：

(3)若數列{bn}是等差數列，前n項和為Sn，對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求滿足條件的所有整數a1的值.

四.選做題本題包括A，B，C，D四個小題，請選做其中兩題，若多做，則按作答的前兩題評分.A.[選修4一1：幾何證明選講]

21.如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交於點D、E.求∠DAC的度數與線段AE的長.

[選修4-2：矩陣與變換]

22.已知二階矩陣M有特徵值λ=8及對應的一個特徵向量 =[ ]，並且矩陣M對應的變換將點(﹣1，2)變換成(﹣2，4).

(1)求矩陣M;

(2)求矩陣M的另一個特徵值.

[選修4-4：座標系與參數方程]

23.已知圓O1和圓O2的極座標方程分別為ρ=2， .

(1)把圓O1和圓O2的極座標方程化為直角座標方程;

(2)求經過兩圓交點的直線的極座標方程.

[選修4-5：不等式選講]

24.已知a，b，c為正數，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.

四.必做題：每小題0分，共計20分

25.如圖，已知正四稜錐P﹣ABCD中，PA=AB=2，點M，N分別在PA，BD上，且 = = .

(1)求異面直線MN與PC所成角的大小;

(2)求二面角N﹣PC﹣B的餘弦值.

26.設|θ|< ，n為正整數，數列{an}的通項公式an=sin tannθ，其前n項和為Sn

(1)求證：當n為偶函數時，an=0;當n為奇函數時，an=(﹣1) tannθ;

(2)求證：對任何正整數n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].

　　2018屆蘇州市高三語文模擬試卷答案

一.填空題：本大題共14小敗，每小題5分，共70分.不需要寫出解答過程

1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，則∁UM=　{6，7}　.

【考點】補集及其運算.

【分析】解不等式化簡集合M，根據補集的定義寫出運算結果即可.

【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，

M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，

則∁UM={6，7}.

故答案為：{6，7}.

2.若複數z滿足z+i= ，其中i為虛數單位，則|z|=　 　.

【考點】複數代數形式的乘除運算.

【分析】直接由複數代數形式的乘除運算化簡複數z，再由複數求模公式計算得答案.

【解答】解：由z+i= ，

得 = ，

則|z|= .

故答案為： .

3.函數f(x)= 的定義域為　{x|x> 且x≠1}　.

【考點】函數的定義域及其求法.

【分析】根據對數函數的性質以及分母不是0，得到關於x的不等式組，解出即可.

【解答】解：由題意得： ，

解得：x> 且x≠1，

故函數的定義域是{x|x> 且x≠1}，

故答案為：{x|x> 且x≠1}.

4.如圖是給出的一種算法，則該算法輸出的結果是　24

【考點】偽代碼.

【分析】模擬程序代碼的運行過程，可知程序的功能是利用循環結構計算並輸出變量t的值，

由於循環變量的初值為2，終值為4，步長為1，故循環體運行只有3次，由此得到答案.

【解答】解：當i=2時，滿足循環條件，執行循環

t=1×2=2，i=3;

當i=3時，滿足循環條件，執行循環

t=2×3=6，i=4;

當i=4時，滿足循環條件，執行循環

t=6×4=24，i=5;

當i=5時，不滿足循環條件，退出循環，輸出t=24.

故答案為：24.

5.某高級中學共有900名學生，現用分層抽樣的方法從該校學 生中抽取1個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人，則該校高二年級學生人數為　300　.

【考點】分層抽樣方法.

【分析】用分層抽樣的方法抽取一個容量為45的樣本，根據高一年級抽20人，高三年級抽10人，得到高二年級要抽取的人數，根據該高級中學共有900名學生，算出高二年級學生人數.

【解答】解：∵用分層抽樣的方法從某校學生中抽取一個容量為45的樣本，

其中高一年級抽20人，高三年級抽10人，

∴高二年級要抽取45﹣20﹣10=15，

∵高級中學共有900名學生，

∴每個個體被抽到的概率是 =

∴該校高二年級學生人數為 =300，

故答案為：300.

6.已知正四稜錐的底面邊長是2，側稜長是 ，則該正四稜錐的體積為　 　.

【考點】稜柱、稜錐、稜台的體積.

【分析】正四稜錐P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，設正四稜錐的高為PO，連結AO，求出PO，由此能求出該正四稜錐的體積.

【解答】解：如圖，正四稜錐P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，

設正四稜錐的高為PO，連結AO，

則AO= AC= .

在直角三角形POA中，PO= = =1.

所以VP﹣ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .

故答案為： .

7.從集合{1，2，3，4}中任取兩個不同的數，則這兩個數的和為3的倍數的槪率為　 　.

【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率.

【分析】先求出基本事件總數n= =6，再利用列舉法求出這兩個數的和為3的倍數包含的基本事件個數，由此能求出這兩個數的和為3的倍數的槪率.

【解答】解：從集合{1，2，3，4}中任取兩個不同的數，

基本事件總數n= =6，

這兩個數的和為3的倍數包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2個，

∴這兩個數的和為3的倍數的槪率p= .

故答案為： .

8.在平面直角座標系xOy中，已知拋物線y2=8x的焦點恰好是雙曲線 ﹣ =l的右焦點，則雙曲線的離心率為　2　.

【考點】雙曲線的簡單性質.

【分析】求得拋物線的焦點座標，可得c=2，由雙曲線的方程可得a=1，由離心率公式可得所求值.

【解答】解：拋物線y2=8x的焦點為(2，0)，

則雙曲線 ﹣ =l的右焦點為(2，0)，

即有c= =2，

不妨設a=1，

可得雙曲線的離心率為e= =2.

故答案為：2.

9.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3，S9，S6成等差數列.且a2+a5=4，則a8的值為　2　.

【考點】等比數列的通項公式.

【分析】利用等比數列的前n項和公式和通項公式列出方程組，求出 ，由此能求出a8的值.

【解答】解：∵等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3，S9，S6成等差數列.且a2+a5=4，

∴ ，

解得 ，

∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.

故答案為：2.

10.在平面直角座標系xOy中，過點M(1，0)的直線l與圓x2+y2=5交於A，B兩點，其中A點在第一象限，且 =2 ，則直線l的方程為　x﹣y﹣1=0　.

【考點】直線與圓的位置關係.

【分析】由題意，設直線x=my+1與圓x2+y2=5聯立，利用韋達定理，結合向量知識，即可得出結論.

【解答】解：由題意，設直線x=my+1與圓x2+y2=5聯立，可得(m2+1)y2+2my﹣4=0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1=﹣2y2，y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

聯立解得m=1，∴直線l的方程為x﹣y﹣1=0，

故答案為：x﹣y﹣1=0.

11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若點P滿足 = + ，且 • =1，則實數λ的值為　﹣ 或1　.

【考點】平面向量數量積的運算.

【分析】根據題意，利用平面向量的線性運算，把 、 用 、 與λ表示出來，再求 • 即可.

【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，點P滿足 = + ，

∴ ﹣ =λ ，

∴ =λ ;

又 = ﹣ =( +λ )﹣ = +(λ﹣1) ，

∴ • =λ •[ +(λ﹣1) ]

=λ • +λ(λ﹣1)

=λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1，

整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，

解得λ=﹣ 或λ=1，

∴實數λ的值為﹣ 或1.

故答案為：﹣ 或1.

12.已知sinα=3sin(α+ )，則tan(α+ )=　2 ﹣4　.

【考點】兩角和與差的正切函數;兩角和與差的正弦函數.

【分析】利用同角三角的基本關係、兩角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan(α+ )的值.

【解答】解：sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= .

又tan =tan( ﹣ )= = =2﹣ ，

∴tan(α+ )= = = =﹣ =2 ﹣4，

故答案為：2 ﹣4.

13.若函數f(x)= ，則函數y=|f(x)|﹣ 的零點個數為　4　.

【考點】根的存在性及根的個數判斷.

【分析】利用分段函數，對x≥1，通過函數的零點與方程根的關係求解零點個數，當x<1時，利用數形結合求解函數的零點個數即可.

【解答】解：當x≥1時， = ，即lnx= ，

令g(x)=lnx﹣ ，x≥1時函數是連續函數，

g(1)=﹣ <0，g(2)=ln2﹣ =ln >0，

g(4)=ln4﹣2<0，由函數的零點判定定理可知g(x)=lnx﹣ ，有2個零點.

(結合函數y= 與y= 可知函數的.圖象由2個交點.)

當x<1時，y= ，函數的圖象與y= 的圖象如圖，考查兩個函數由2個交點，

綜上函數y=|f(x)|﹣ 的零點個數為：4個.

故答案為：4.

14.若正數x，y滿足15x﹣y=22，則x3+y3﹣x2﹣y2的最小值為　1　.

【考點】函數的最值及其幾何意義.

【分析】由題意可得x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，求出y3﹣y2≥﹣ y，當且僅當y= 時取得等號，設f(x)=x3﹣x2，求出導數和單調區間、極值和最值，即可得到所求最小值.

【解答】解：由正數x，y滿足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22>0，則x> ，y>0，

又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，

其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+ )=y(y﹣ )2≥0，

即y3﹣y2≥﹣ y，

當且僅當y= 時取得等號，

設f(x)=x3﹣x2，f(x)的導數為f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2)，

當x= 時，f(x)的導數為 ×( ﹣2)= ，

可得f(x)在x= 處的切線方程為y= x﹣ .

由x3﹣x2≥ x﹣ ⇔(x﹣ )2(x+2)≥0，

當x= 時，取得等號.

則x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣ ﹣ y≥ ﹣ =1.

當且僅當x= ，y= 時，取得最小值1.

故答案為：1.

二.解答題：本大題共6小題，共計90分

15.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=

(1)求邊c的長;

(2)求角B的大小.

【考點】餘弦定理;正弦定理.

【分析】(1)由acosB=3，bcosA=l，利用餘弦定理化為：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.

(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin .代入可得 ﹣16sin2B= ，化簡即可得出.

【解答】解：(1)∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，

化為：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.

相加可得：2c2=8c，解得c=4.

(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.

由正弦定理可得： = = ，

又A﹣B= ，∴A=B+ ，C=π﹣(A+B)= ，可得sinC=sin .

∴a= ，b= .

∴ ﹣16sin2B= ，

∴1﹣ ﹣(1﹣cos2B)= ，即cos2B﹣ = ，

∴﹣2 ═ ，

∴ =0或 =1，B∈ .

解得：B= .

16.如圖，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交於點O，E是稜AB上一點，且OE∥平面BCC1B1

(1)求證：E是AB中點;

(2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.

【考點】空間中直線與直線之間的位置關係;直線與平面平行的性質.

【分析】(1)利用同一法，首先通過連接對角線得到中點，進一步利用中位線，得到線線平行，進一步利用線面平行的判定定理，得到結論.

(2)利用菱形的對角線互相垂直，進一步利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，最後轉化成線線垂直.

【解答】證明：(1)連結BC1，取AB中點E′，

∵側面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交於點O，

∴O為AC1的中點，

∵E′是AB的中點，

∴OE′∥BC1;

∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

∴OE′∥平面BCC1B1，

∵OE∥平面BCC1B1，

∴E，E′重合，

∴E是AB中點;

(2)∵側面AA1C1C是菱形，

∴AC1⊥A1C，

∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，

∴AC1⊥平面A1BC，

∵BC⊂平面A1BC，

∴AC1⊥BC.

17.某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC (如圖)，設計要求彩門的面積為S (單位：m2)•高為h(單位：m)(S，h為常數)，彩門的下底BC固定在廣場地面上，上底和兩腰由不鏽鋼支架構成，設腰和下底的夾角為α，不鏽鋼支架的長度和記為l.

(1)請將l表示成關於α的函數l=f(α);

(2)問當α為何值時l最小?並求最小值.

【考點】函數模型的選擇與應用.

【分析】(1)求出上底，即可將l表示成關於α的函數l=f(α);

(2)求導數，取得函數的單調性，即可解決當α為何值時l最小?並求最小值.

【解答】解：(1)設上底長為a，則S= ，

∴a= ﹣ ，

∴l= ﹣ + (0<α< );

(2)l′=h ，

∴0<α< ，l′<0， <α< ，l′>0，

∴ 時，l取得最小值 m.

18.在平面直角座標系xOy中，已知橢圓 + =l (a>b>0)的焦距為2，離心率為 ，橢圓的右頂點為A.

(1)求該橢圓的方程：

(2)過點D( ，﹣ )作直線PQ交橢圓於兩個不同點P，Q，求證：直線AP，AQ的

斜率之和為定值.

【考點】直線與橢圓的位置關係.

【分析】(1)由題意可知2c=2，c=1，離心率e= ，求得a=2，則b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓的方程：

(2)則直線PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣ ，代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，分別求得直線AP，AQ的斜率，即可證明直線AP，AQ的率之和為定值.

【解答】解：(1)由題意可知：橢圓 + =l (a>b>0)，焦點在x軸上，2c=1，c=1，

橢圓的離心率e= = ，則a= ，b2=a2﹣c2=1，

則橢圓的標準方程： ;

(2)證明：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A( ，0)，

由題意PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣ ，

則 ，整理得：(2k2+1)x2﹣(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0，

由韋達定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

則y1+y2=k(x1+x2)﹣2 k﹣2 = ，

則kAP+kAQ= + = ，

由y1x2+y2x1=[k(x1﹣ )﹣ ]x2+[k(x2﹣ )﹣ ]x1=2kx1x2﹣( k+ )(x1+x2)=﹣ ，

kAP+kAQ= = =1，

∴直線AP，AQ的斜率之和為定值1.

19.己知函數f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a為正實數，且為常數)

(1)若f(x)在(0，+∞)上單調遞增，求a的取值範圍;

(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恆成立，求a的取值範圍.

【考點】利用導數求閉區間上函數的最值;利用導數研究函數的單調性.

【分析】(1)求出函數f(x)的導數，問題轉化為a≤lnx+ +1在(0，+∞)恆成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，根據函數的單調性求出a的範圍即可;

(2)問題轉化為(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恆成立，通過討論x的範圍，結合函數的單調性求出a的範圍即可.

【解答】解：(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a，f′(x)=lnx+ +1﹣a，

若f(x)在(0，+∞)上單調遞增，

則a≤lnx+ +1在(0，+∞)恆成立，(a>0)，

令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，

g′(x)= ，

令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0

故g(x)在(0，1)遞減，在(1，+∞)遞增，

故g(x)min=g(1)=2，

故0

(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恆成立，

即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恆成立，

①x≥1時，只需a≤(x+1)lnx恆成立，

令m(x)=(x+1)lnx，(x≥1)，

則m′(x)=lnx+ +1，

由(1)得：m′(x)≥2，

故m(x)在[1，+∞)遞增，m(x)≥m(1)=0，

故a≤0，而a為正實數，故a≤0不合題意;

②0

令n(x)=(x+1)lnx，(0

則n′(x)=lnx+ +1，由(1)n′(x)在(0，1)遞減，

故n′(x)>n(1)=2，

故n(x)在(0，1)遞增，故n(x)

故a≥0，而a為正實數，故a>0.

20.己知n為正整數，數列{an}滿足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，設數列{bn}滿足bn=

(1)求證：數列{ }為等比數列;

(2)若數列{bn}是等差數列，求實數t的值：

(3)若數列{bn}是等差數列，前n項和為Sn，對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求滿足條件的所有整數a1的值.

【考點】數列的求和;等比數列的通項公式.

【分析】(1)數列{an}滿足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，化為： =2× ，即可證明.

(2)由(1)可得： = ，可得 =n •4n﹣1.數列{bn}滿足bn= ，可得b1，b2，b3，利用數列{bn}是等差數列即可得出t.

(3)根據(2)的結果分情況討論t的值，化簡8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1.

【解答】(1)證明：數列{an}滿足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，

∴ = an+1，即 =2 ，

∴數列{ }是以a1為首項，以2為公比的等比數列.

(2)解：由(1)可得： = ，∴ =n •4n﹣1.

∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，

∵數列{bn}是等差數列，∴2× = + ，

∴ = + ，

化為：16t=t2+48，解得t=12或4.

(3)解：數列{bn}是等差數列，由(2)可得：t=12或4.

①t=12時，bn= = ，Sn= ，

∵對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴ × ﹣a14n2=16× ，

∴ = ，n=1時，化為：﹣ = >0，無解，捨去.

②t=4時，bn= = ，Sn= ，

對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴ × ﹣a14n2=16× ，

∴n =4m，

∴a1= .∵a1為正整數，∴ = k，k∈N*.

∴滿足條件的所有整數a1的值為{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}.

四.選做題本題包括A，B，C，D四個小題，請選做其中兩題，若多做，則按作答的前兩題評分.A.[選修4一1：幾何證明選講]

21.如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交於點D、E.求∠DAC的度數與線段AE的長.

【考點】弦切角.

【分析】連接OC，先證得三角形OBC是等邊三角形，從而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考慮到直角三角形ABE中，利用角的關係即可求得邊AE的長.

【解答】解：如圖，連接OC，因BC=OB=OC=3，

因此∠CBO=60°，由於∠DCA=∠CBO，

所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°;

又因為∠ACB=90°，

得∠CAB=30°，那麼∠EAB=60°，

從而∠ABE=30°，

於是 .

[選修4-2：矩陣與變換]

22.已知二階矩陣M有特徵值λ=8及對應的一個特徵向量 =[ ]，並且矩陣M對應的變換將點(﹣1，2)變換成(﹣2，4).

(1)求矩陣M;

(2)求矩陣M的另一個特徵值.

【考點】特徵值與特徵向量的計算;幾種特殊的矩陣變換.

【分析】(1)先設矩陣A= ，這裏a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特徵值λ=8及對應的一個特徵向量e1及矩陣M對應的變換將點(﹣1，2)換成(﹣2，4).得到關於a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M;

(2)由(1)知，矩陣M的特徵多項式為f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，從而求得另一個特徵值為2.

【解答】解：(1)設矩陣A= ，這裏a，b，c，d∈R，

則 =8 = ，

故 ，

由於矩陣M對應的變換將點(﹣1，2)換成(﹣2，4).

則 = ，

故

聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= .

(2)由(1)知，矩陣M的特徵多項式為f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，

故矩陣M的另一個特徵值為2.

[選修4-4：座標系與參數方程]

23.已知圓O1和圓O2的極座標方程分別為ρ=2， .

(1)把圓O1和圓O2的極座標方程化為直角座標方程;

(2)求經過兩圓交點的直線的極座標方程.

【考點】簡單曲線的極座標方程;相交弦所在直線的方程.

【分析】(1)先利用三角函數的差角公式展開圓O2的極座標方程的右式，再利用直角座標與極座標間的關係，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得圓O2的直角座標方程及圓O1直角座標方程.

(2)先在直角座標系中算出經過兩圓交點的直線方程，再利用直角座標與極座標間的關係求出其極座標方程即可.

【解答】解：(1)ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4;因為 ，

所以 ，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.

(2)將兩圓的直角座標方程相減，得經過兩圓交點的直線方程為x+y=1.

化為極座標方程為ρcosθ+ρsinθ=1，即 .

[選修4-5：不等式選講]

24.已知a，b，c為正數，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.

【考點】二維形式的柯西不等式.

【分析】利用柯西不等式，結合a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值.

【解答】解：由柯西不等式可得

( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12

∴ + + ≤3 ，當且僅當 = = 時取等號.

∴ + + 的最大值是6，

故最大值為6.

四.必做題：每小題0分，共計20分

25.如圖，已知正四稜錐P﹣ABCD中，PA=AB=2，點M，N分別在PA，BD上，且 = = .

(1)求異面直線MN與PC所成角的大小;

(2)求二面角N﹣PC﹣B的餘弦值.

【考點】二面角的平面角及求法;異面直線及其所成的角.

【分析】(1)設AC與BD的交點為O，AB=PA=2.以點O為座標原點， ， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角座標系O﹣xyz.利用向量法能求出異面直線MN與PC所成角.

(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的餘弦值.

【解答】解：(1)設AC與BD的交點為O，AB=PA=2.以點O為座標原點，

， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角座標系O﹣xyz.

則A(1，﹣1，0)，B(1，1，0)，C(﹣1，1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，…

設P(0，0，p)，則 =(﹣1，1，p)，又AP=2，

∴1+1+p2=4，∴p= ，

∵ = = =( )，

=( )，

∴ =(﹣1，1，﹣ )， =(0， ，﹣ )，

設異面直線MN與PC所成角為θ，

則cosθ= = = .

θ=30°，

∴異面直線MN與PC所成角為30°.

(2) =(﹣1，1，﹣ )， =(1，1，﹣ )， =( ，﹣ )，

設平面PBC的法向量 =(x，y，z)，

則 ，取z=1，得 =(0， ，1)，

設平面PNC的法向量 =(a，b，c)，

則 ，取c=1，得 =( ，2 ，1)，

設二面角N﹣PC﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = = .

∴二面角N﹣PC﹣B的餘弦值為 .

26.設|θ|< ，n為正整數，數列{an}的通項公式an=sin tannθ，其前n項和為Sn

(1)求證：當n為偶函數時，an=0;當n為奇函數時，an=(﹣1) tannθ;

(2)求證：對任何正整數n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].

【考點】數列的求和.

【分析】(1)利用sin = ，即可得出.

(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.利用等比數列的求和公式即可得出.

【解答】證明：(1)an=sin tannθ，

當n=2k(k∈N*)為偶數時，an=sinkπ•tannθ=0;

當n=2k﹣1為奇函數時，an= •tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1) tannθ.

(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.∴奇數項成等比數列，首項為tanθ，公比為﹣tan2θ.

∴S2n= = sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].