2018屆蘇錫常鎮四市高三數學模擬試卷及答案

高三學生備戰大學聯考數學少不了多做大學聯考數學模擬考試查漏補缺，這樣才能分側重點進行復習，以下是本站小編為你整理的2018屆蘇錫常鎮四市高三數學模擬試卷，希望能幫到你。

　　2018屆蘇錫常鎮四市高三數學模擬試卷題目

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應位置)

1.已知 ，則 ▲ .

2.若複數 滿足 ，則複數 在複平面上對應的點在第 ▲ 象限.

3.隨着社會的發展，食品安全問題漸漸成為社會關注的熱點，為了提高學生的食品安全意識，某學校組織全校學生參加食品安全知識競賽，成績的頻率分佈直方圖如下圖所示，數據的分組依次為 ， ， ， ，若該校的學生總人數為3000，則成績不超過60分的學生人數大約為 ▲ .

4.在區間 內任取一個實數 , 則滿足 的概率為 ▲ .

5.如圖是一個算法流程圖，則輸出 的值為 ▲ .

6.函數 的定義域為 ▲ .

7.已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則該雙曲線的焦距為

▲ .

8.已知 ，則 ▲ .

9.已知圓錐的側面展開圖是半徑為4，圓心角等於 的扇形，則這個圓錐的體積是 ▲

10.已知圓 為常數)與直線 相交於 兩點，若 ，則實數 ▲ .

11、設等差數列 的前 項和為 ，若 ， ， 則 的最小值為 ▲ .

12.若動直線 與函數 ， 的圖象分別交於 兩點，則線段 長度的最大值為 ▲ .

13.在 中， 、 分別是 、 的中點， 是直線 上的動點.若 的面積為2，則 的最小值為 ▲ .

14.已知函數 有兩個不相等的零點 ，則 的最大值為 ▲ .

二、解答題(本大題共6小題，共90分.解答應寫出必要的文字説明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)

在 中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若 ， .

⑴求 的值;

⑵若 ，求 的面積.

16.(本小題滿分14分)

如圖，在四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，CD∥AB，AB=2CD， AC交BD於O，鋭角 PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，點Q在側稜PC上，且PQ=2QC.

求證：⑴PA∥平面QBD;

⑵BD AD.

17.(本小題滿分14分)

如圖是一座橋的截面圖，橋的路面由三段曲線構成，曲線 和曲線 分別是頂點在路面 、 的拋物線的一部分，曲線 是圓弧，已知它們在接點 、 處的切線相同，若橋的最高點 到水平面的距離 米，圓弧的弓高 米，圓弧所對的弦長 米.

(1)求弧 所在圓的半徑;

(2)求橋底 的長.

18.(本小題滿分16分)

如圖，已知橢圓 的左頂點 ，且點 在橢圓上， 、 分別是橢圓的左、右焦點。過點 作斜率為 的直線交橢圓 於另一點 ，直線 交橢圓 於點 .

(1)求橢圓 的標準方程;

(2)若 為等腰三角形，求點 的座標;

(3)若 ，求 的值.

19.(本小題滿分16分)

已知函數 ，其中 為參數.

(1)當 時，求函數 在 處的切線方程;

(2)討論函數 極值點的個數，並説明理由;

(3)若對任意 ， 恆成立，求實數 的取值範圍.

20.(本小題滿分16分)

已知各項不為零的數列 的前 項和為 ，且 ， ， .

(1)若 成等比數列，求實數 的值;

(2)若 成等差數列，

①求數列 的通項公式;

②在 與 間插入 個正數，共同組成公比為 的等比數列，若不等式

對任意的 恆成立，求實數 的最大值.

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數學Ⅱ(附加題 共40分)

21.[選修4-2：矩陣與變換](本小題滿分10分)

已知矩陣 ，設曲線C： 在矩陣 對應的變換下得到曲線C′，求C′的方程.

22.[選修4-4：座標系與參數方程](本小題滿分10分)

在極座標系中，直線 和圓C的極座標方程為 ( )和 .若直線 與圓C有且只有一個公共點，求a的值.

23.(本小題滿分10分)

某校舉辦校園科技文化藝術節，在同一時間安排《生活趣味數學》和《校園舞蹈賞析》兩場講座.已知A、B兩學習小組各有5位同學，每位同學在兩場講座任意選聽一場.若A組1人選聽《生活趣味數學》，其餘4人選聽《校園舞蹈賞析》;B組2人選聽《生活趣味數學》，其餘3人選聽《校園舞蹈賞析》.

⑴若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率;

⑵若從A、B兩組中各任選2人，設 為選出的4人中選聽《生活趣味數學》的人數，求 的分佈列和數學期望 .

24. (本小題滿分10分)

在數列 中， ( )

⑴試將 表示為 的函數關係式;

⑵若數列 滿足 ( )，猜想 與 的大小關係，並證明你的結論.

　　2018屆蘇錫常鎮四市高三數學模擬試卷答案

一、填空題

1. 2.一 3.900 4. 5. 120

6. 7.10 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

15. 【解析】⑴由 得 ，

又 ，所以 ， ………………3分

因為 ，且 為鈍角，所以 ， ………………6分

所以 . ………………8分

⑵由正弦定理得 ，所以 ， ……… 11分

所以 的面積 . ………………14分

16. 【解析】⑴如圖，連接OQ，

因為AB∥CD，AB =2 CD，

所以AO =2OC，又PQ=2QC，

所以PA∥OQ， …………………3分

又OQ 平面QBD，PA 平面QBD，

所以PA∥平面QBD. ………………… 6分

⑵在平面PAD內過 作 於H，因為側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，

PH 平面PAD，所以PH 平面ABCD， …………………9分

又BD 平面ABCD，所以PH BD，又PA⊥BD，

且PA和PH是平面PAD內的兩條相交直線，所以BD 平面PAD，…………………12分

又AD 平面PAD，所以BD AD. …………………14分

17. 解：(1)設弧 所在圓的半徑為 ,由題意得 ,

即弧 所在圓的半徑為13米。 …………………4分

(2)以線段 所在直線為 軸，線段 的中垂線為 軸，建立如圖的平面直角座標系。

米， 米，弓高 米，

， ， ，設 所在圓的方程為

則

弧 的方程為 …………………6分

設曲線 所在拋物線的方程為： ， …………………8分

點 在曲線 上  …………………10分

又弧 與曲線段 在接點 處的切線相同,且弧 在點B處的切線的斜率為 ，

由 得 ， ，

 …………………12分

由得 ， ，

橋底 的長為58米 …………………13分

答：(1)弧 所在圓的半徑為13米;

(2)橋底 的長 58米。 (答和單位各1分) …………………14分

18. 解：(1)由題意得 ，解得

橢圓 的標準方程： …………………4分

(2) 為等腰三角形，且 點 在 軸下方

1° 若 ，則 ;

2° 若 ，則 ， ;

3° 若 ，則 ，

直線 的方程 ，由 得 或

(不討論扣2分) …………………9分

(3)設直線 的方程 ，

由 得

…………………11分

若 則 ， ， 與 不垂直;

， ， ，

直線 的`方程 ，直線 的方程：

由 解得 …………………13分

又點 在橢圓上得 ，即 ，即

， …………………16分

19. 解析：(1) …………………3分

(2) ，定義域為

，設 ，

① 當 時， ，故 ，

所以 在 上為增函數，所以無極值點. …………………4分

②當 時， ，

若 時 ， ，故 ，故 在 上遞增，所以無極值點.

若 時 ，設 的兩個不相等的實數根為 ，且 ，

且 ，而 ，則 ，

所以當 單調遞增;

當 單調遞減;

當 單調遞增.

所以此時函數 有兩個極值點; …………………7分

③當 時 ，設 的兩個不相等的實數根為 ，且 ，

但 ，所以 ，

所以當 單調遞増;

當 單調遞減.

所以此時函數 只有一個極值點。

綜上得：

當 時 有一個極值點;

當 時 的無極值點;

當 時， 的有兩個極值點. …………………9分

(3)方法一：

當 時，由(2)知 在 上遞增，

所以 ，符合題意; …………………10分

當 時， ， 在 上遞增，所以 ，

符合題意; …………………12分

當 時， ，所以函數 在 上遞減， 所以 ，

不符合題意; …………………14分

當 時，由(1)知 ，於是

當 時， ，此時 ，不符合題意.

綜上所述， 的取值範圍是 . …………………16分

方法二： ，注意到對稱軸為 ， ，

當 時，可得 ，故 在 上遞增，所以 ，符合題意;

當 時， ，所以函數 在 上遞減， 此時 ，

不符合題意;

當 時，由(1)知 ，於是

當 時， ，此時 ，不符合題意.

綜上所述， 的取值範圍是 . …………………16分

20. 解：(1)當 時， ， ，當 時， ， ，

由 得 ，即 ，解得： 。 …………………3分

(2)由 得 ，故 ， ，所以 ，

當 時， ，

因為 ，所以 …………………6分

故數列 的所有奇數項組成以 為首項 為公差的等差數列，

其通項公式 ， …………………7分

同理，數列 的所有偶數項組成以 為首項 為公差的等差數列，

其通項公式是 …………………8分

所以數列 的通項公式是 …………………9分

(3) ，在 與 間插入 個正數，組成公比為 的等比數列，故有 ，

即 ， …………………10分

所以 ，即 ，兩邊取對數得 ，

分離參數得 恆成立 …………………11分

令 ， ，則 ， ， …………………12分

令 ， ，則 ，

下證 ， ，

令 ， 則 ，所以 ，

即 ，用 替代 可得 ， ， …………………14分

所以 ，所以 在 上遞減，

所以 …………………16分

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數學Ⅱ(附加題)參考答案

21.【解析】設 為曲線C上任意一點，點 在矩陣 對應的變換下得到點 ，則： ，即 ，解得 ， ………………5分

(注：用逆矩陣的方式求解同樣給分)

又 ，∴ ，即 ，

∴曲線C′的方程為 . ………………10分

22. 【解析】將直線 的極座標方程化為直角座標方程得 ; ………………2分

將圓C的極座標方程化為直角座標方程得 . ………………4分

因為直線與圓有且只有一個公共點，所以 ，即 ………………8分

解得 或 . ………………10分

23.【解析】⑴設“選出的3人中恰2人選聽《校園舞蹈賞析》”為事件 ，

則 ，

答：選出的3人中恰2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率為 . ………………3分

⑵ 可能的取值為 ，

， ，

，故 .

所以 的分佈列為：

X 0 1 2 3

………………8分

所以 的數學期望 . ………………10分

24.【解析】(1) =

又 ， ， ………………3分

⑵當n=1時， ， ，

當n=2時， ， ，

當n=3時， ， ， ………………4分

猜想：當 時， ， ………………5分

下面用數學歸納法證明：

證：①當n=3時，由上知， ，結論成立。

②假設n=k， 時, 成立，即

則當n=k+1， ，

要證 ，即證明

即證明

即證明

即證明 ，顯然成立。

∴ 時，結論也成立.

綜合①②可知：當 時， 成立。

綜上可得：當n=1時， ;當n=2時，

當 ， 時， ………………10分