數學的由來範文

導語：對數學的由來，各位趕快來了解一下吧。下面是小編整理的數學的由來，供各位閲讀和參考。

　　數學的由來

數學，其英文是mathematics，這是一個複數名詞，“數學曾經是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處於一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。”

自古以來，多數人把數學看成是一種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理而形成的系統化的理論知識總和，它既反映了人們對“現實世界的空間形式和數量關係的認識（恩格斯），又反映了人們對“可能的量的關係和形式”的認識。數學既可以來自現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的勞動創造。

從人類社會的發展史看，人們對數學本質特徵的認識在不斷變化和深化。“數學的根源在於普通的常識，最顯著的例子是非負整數。"歐幾里德的算術來源於普通常識中的非負整數，而且直到19世紀中葉，對於數的科學探索還停留在普通的常識，”另一個例子是幾何中的相似性，“在個體發展中幾何學甚至先於算術”，其“最早的徵兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發現得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀以前，人們普遍認為數學是一門自然科學、經驗科學，因為那時的數學與現實之間的聯繫非常密切，隨着數學研究的不斷深入，從19世紀中葉以後，數學是一門演繹科學的觀點逐漸佔據主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發展，他們認為數學是研究結構的科學，一切數學都建立在代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數學是研究模式的學問，數學家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數學與善》中説，“數學的本質特徵就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數學對於理解模式和分析模式之間的關係，是最強有力的技術。”1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾伊曼就認為，數學兼有演繹科學和經驗科學兩種特性。

對於上述關於數學本質特徵的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數本質特徵的認識是隨數學的發展而發展的。由於數學源於分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數學概念的現實原型，這樣，人們自然地認為數學是一種經驗科學；隨着數學研究的深入，非歐幾何、抽象代數和集合論等的產生，特別是現代數學向抽象、多元、高維發展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數學與現實之間的距離越來越遠，而且數學證明（作為一種演繹推理）在數學研究中佔據了重要地位，因此，出現了認為數學是人類思維的自由創造物，是研究量的關係的科學，是研究抽象結構的理論，是關於模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數學理解的深化，也是人們從不同側面對數學進行認識的結果。正如有人所説的，“恩格斯的關於數學是研究現實世界的數量關係和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數學的來源，後者反映了現代數學的水平，現代數學是一座由一系列抽象結構建成的大廈。”而關於數學是研究模式的學問的説法，則是從數學的抽象過程和抽象水平的角度對數學本質特徵的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基於人類對數學推理的必然性、準確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現，因此人們認為，發展數學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那麼由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。

事實上，上述對數學本質特徵的認識是從數學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，並且主要是從數學研究的結果來看數學的本質特徵的。顯然，結果（作為一種理論的演繹體系）並不能反映數學的全貌，組成數學整體的另一個非常重要的方面是數學研究的過程，而且從總體上來説，數學是一個動態的過程，是一個“思維的實驗過程”，是數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果。在數學研究的過程中，數學對象的豐富、生動且富於變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認為，“數學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什麼東西。由歐幾里德方法提出來的數學看來象是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。”弗賴登塔爾説，“數學是一種相當特殊的活動。”這種觀點是區別於數學作為印在書上和銘記在腦子裏的東西。他認為，數學家或者數學教科書喜歡把數學表示成“一種組織得很好的狀態，”也即“數學的形式”是數學家將數學（活動）內容經過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數人來説，他們是把數學當成一種工具，他們不能沒有數學是因為他們需要應用數學，這就是，對於大眾來説，是要通過數學的形式來學習數學的內容，從而學會相應的（應用數學的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所説的“數學是在內容和形式的互相影響之中的一種發現和組織的活動”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）説，“數學家的理想是要獲得嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這一事實並不排除必須將數學看成是個創造性過程：數學本質上是人類活動，數學是由人類發明的，”數學活動由形式的、算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也説，“數學是人類意志的表達，反映積極的意願、深思熟慮的推理，以及精美而完善的願望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮鬥，才構成數學科學的生命、效用與高度的價值。”

另外，對數學還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，“數學是一種文化體系”；“數學是一種語言”；數學活動是社會性的，它是在人類文明發展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響；也有人認為，數學是一門藝術，這和把數學看作一門學科相比，我幾乎更喜歡把它看作一門藝術，因為數學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現出的經久的創造性活動，具有和藝術家的'，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而並非臆造的。數學家嚴格的演繹推理在這裏可以比作專門的技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數學家，這些品質是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優秀的藝術家或優秀的數學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力；“數學是推理的音樂，”而“音樂是形象的數學”。這是從數學研究的過程和數學家應具備的品質來論述數學的本質；還有人把數學看成是一種對待事物的基本態度和方法，一種精神和觀念，即數學精神、數學觀念和態度；尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數學》一文中認為，數學是一門學科，“在認識論的意義上它是一門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關係和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體所構成的，數學就扮演着純粹科學的角色。在這種情況下，數學以內在的自我發展和自我理解為目標，獨立於外部世界...另一方面，如果所考慮的領域存在於數學之外...數學就起着用科學的作用...數學的這兩個側面之間的差異並非數學內容本身的問題，而是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數學有助於產生知識和洞察力。數學也是一個工具、產品以及過程構成的系統，它有助於我們作出與掌握數學以外的實踐領域有關的決定和行動...數學是美學的一個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悦和激動的體驗...作為一門學科，數學的傳播和發展都要求它能被新一代的人們所掌握。數學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目。”

從上所述可以看出，人們是從數學內部（又從數學的內容、表現形式及研究過程等幾個角度）。數學與社會的關係、數學與其它學科的關係、數學與人的發展的關係等幾個方面來討論數學的性質的。它們都從一個側面反映了數學的本質特徵，為我們全面認識數學的性質提供了一個視角。

基於對數學本質特徵的上述認識，人們也從不同側面討論了數學的具體特點。比較普遍的觀點是，數學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。亞歷山大洛夫説，“甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數學的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他説是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最後是它的應用的極端廣泛、性。”王粹坤説，“數學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必。”這種看法主要從數學的內容、表現形式和數學的作用等方面來理解數學的特點，是數學特點的一個方面。另外，從數學研究的過程方面、數學與其它學科之間的關係方面來看，數學還有形象性、似真性、擬經驗性、“可證偽性”的特點。對數學特點的認識也是有時代特徵的，例如，關於數學的嚴謹性，在各個數學歷史發展時期有不同的標準，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關於嚴謹性的評價標準有很大差異，尤其是哥德爾提出並證明了“不完備性定理…以後，人們發現即使是公理化這一曾經被極度推崇的嚴謹的科學方法也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性是在數學發展歷史中表現出來的，具有相對性。關於數學的似真性，波利亞在他的《數學與猜想》中指出，“數學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面，以最後確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其它知識的創造過程一樣的，在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合然後加以類比，你得一次又一次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那麼就應當讓猜測、合情推理佔有適當的位置。”正是從這個角度，我們説數學的確定性是相對的，有條件的，對數學的形象性、似真性、擬經驗性。“可證偽性”特點的強調，實際上是突出了數學研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。

綜上所述，對數學本質特徵的認識是發展的、變化的，用歷史的、發展的觀點來看待數學的本質特徵，恩格斯的“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關係”的論斷並不過時，對初等數學來説就更是如此。當然，對“空間形式和數量關係”的內涵，我們應當作適當的拓展和深化。順便指出，對數學本質特徵的討論中，採取現象與本質並重、過程與結果並重、形式與內容並重的觀點，這對數學教學具有重要的指導意義。

　　數學的由來和發展

數學是研究事物的數量關係和空間形式的一門科學。

數學的產生和發展始終圍繞着數和形這兩個基本概念不斷地深化和演變。大體上説，凡是研究數和它的關係的部分，劃為代數學的範疇；凡是研究形和它的關係的部分，劃為幾何學的範疇。但同時數和形也是相互聯繫的有機整體。

數學是一門高度概括性的科學，具有自己的特徵。抽象性是它的第一個特徵；數學思維的正確性表現在邏輯的嚴密上，所以精確性是它的第二個特徵；應用的廣泛性是它的第三個特徵。

一切科學、技術的發展都需要數學，這是因為數學的抽象，使外表完全不同的問題之間有了深刻的聯繫。因此數學是自然科學中最基礎的學科，因此常被譽為科學的皇后。

數學在提出問題和解答問題方面，已經形成了一門特殊的科學。在數學的發展史上，有很多的例子可以説明，數學問題是數學發展的主要源泉。數學家門為了解答這些問題，要花費較大力量和時間。儘管還有一些問題仍然沒有得到解答，然而在這個過程中，他們創立了不少的新概念、新理論、新方法，這些才是數學中最有價值的東西。

數學概覽

數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。簡單地説，就是研究數和形的科學。

由於生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，並由用手指或實物計數發展到用數字計數。在中國，最遲在商代，即已出現用十進制數字表示大數的方法；至秦漢之際，即已出現完滿的十進位制。在 不晚於公元一世紀的《九章算術》中，已載了只有位值制才有可能進行的開平方、開立方的計算法則，並載有分數的各種運算以及解線性聯立方程組的方法，還引入了負數概念。

劉徽在他註解的《九章算術》中，還提出過用十進制小數表示無理數平方根的奇零部分，但直至唐宋時期(歐洲則在16世紀斯蒂文以後)十進制小數才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內接正多邊形的周長逼近圓周長，成為後世求圓周率 的一般方法。

雖然中國從來沒有過無理數或實數的一般概念，但在實質上，那時中國已完成了實數系統的一切運算法則與方法，這不僅在應用上不可缺，也為數學初期教育所不可少。至於繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區，則偏重於數的性質及這些性質間的邏輯關係的研究。

早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素數的概念和素數個數無窮及整數惟一分解等論斷。古希臘發現了有非分數的數，即現稱的無理數。16世紀以來，由於解高次方程又出現了複數。在近代，數的概念更進一步抽象化，並依據數的不同運算規律，對一般的數系統進行了獨立的理論探討，形成數學中的若干不同分支。

開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運算。在《九章算術》中，已出現解某種特殊形式的二次方程。發展至宋元時代，引進了“天元”(即未知數)的明確觀念，出現了求高次方程數值解與求多至四個未知數的高次代數聯立方程組的解的方法，通稱為天元術與四元術。與之相伴出現的多項式的表達、運算法則以及消去方法，已接近於近世的代數學。

在中國以外，九世紀阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數學的鼻祖，其解法實質上與中國古代依賴於切割術的幾何方法具有同一風格。中國古代數學致力於方程的具體求解，而源於古希臘、埃及傳統的歐洲數學則不同，一般致力於探究方程解的性質。

16世紀時，韋達以文字代替方程係數，引入了代數的符號演算。對代數方程解的性質進行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現；從代數方程導致複數、對稱函數等概念的引入以至伽羅華理論與羣論的創立。而近代極為活躍的代數幾何，則無非是高次聯立代數方程組解所構成的集合的理論研究。

形的研究屬於幾何學的範疇。古代民族都具有形的簡單概念，並往往以圖畫來表示，而圖形之所以成為數學對象是由於工具的製作與測量的要求所促成的。規矩以作圓方，中國古代夏禹泊水時即已有規、矩、準、繩等測量工具。

《墨經》中對一系列的幾何概念，有抽象概括，作出了科學的定義。《周髀算經》與劉徽的《海島算經》給出了用矩觀測天地的一般方法與具體公式。在《九章算術》及劉徽註解的《九章算術》中，除勾股定理外，還提出了若干一般原理以解決多種問題。例如求任意多邊形面積的出入相補原理；求多面體的體積的陽馬鼈需的二比一原理(劉徽原理)；5世紀祖(日恆)提出的用以求曲形體積特別是球的體積的“冪勢既同則積不容異”的原理；還有以內接正多邊形逼近圓周長的極限方法(割圓術)。但自五代(約10世紀)以後，中國在幾何學方面的建樹不多。

中國幾何學以測量和計算面積、體積的量度為中心任務，而古希臘的傳統則是重視形的性質與各種性質間的相互關係。歐幾里得的《幾何原本》，建立了用定義、公理、定理、證明構成的演繹體系，成為近代數學公理化的楷模，影響遍及於整個數學的發展。特別是平行公理的研究，導致了19世紀非歐幾何的產生。

歐洲自文藝復興時期起通過對繪畫的透視關係的研究，出現了射影幾何。18世紀，蒙日應用分析方法對形進行研究，開微分幾何學的先河。高斯的曲面論與黎曼的流形理論開創了脱離周圍空間以形作為獨立對象的研究方法；19世紀克萊因以羣的觀點對幾何學進行統一處理。此外，如康托爾的點集理論，擴大了形的範圍；龐加萊創立了拓撲學，使形的連續性成為幾何研究的對象。這些都使幾何學面目一新。

在現實世界中，數與形，如影之隨形，難以分割。中國的古代數學反映了這一客觀實際，數與形從來就是相輔相成，並行發展的。例如勾股測量提出了開平方的要求，而開平方、開立方的方法又奠基於幾何圖形的考慮。二次、三次方程的產生，也大都來自幾何與實際問題。至宋元時代，由於天元概念與相當於多項式概念的引入，出現了幾何代數化。

在天文與地理中的星表與地圖的繪製，已用數來表示地點，不過並未發展到座標幾何的地步。在歐洲，十四世紀奧爾斯姆的著作中已有關於經緯度與函數圖形表示的萌芽。十七世紀笛卡爾提出了系統的把幾何事物用代數表示的方法及其應用。在其啟迪之下，經萊布尼茨、牛頓等的工作，發展成了現代形式的座標制解析幾何學，使數與形的統一更臻完美，不僅改變了幾何證題過去遵循歐幾里得幾何的老方法，還引起了導數的產生，成為微積分學產生的根源。這是數學史上的一件大事。

在十七世紀中，由於科學與技術上的要求促使數學家們研究運動與變化，包括量的變化與形的變換(如投影)，還產生了函數概念和無窮小分析即現在的微積分，使數學從此進入了一個研究變量的新時代。

十八世紀以來，以解析幾何與微積分這兩個有力工具的創立為契機，數學以空前的規模迅猛發展，出現了無數分支。由於自然界的客觀規律大多是以微分方程的形式表現的，所以微分方程的研究一開始就受到很大的重視。

微分幾何基本上與微積分同時誕生，高斯與黎曼的工作又產生了現代的微分幾何。19、20世紀之交，龐加萊創立了拓撲學，開闢了對連續現象進行定性與整體研究的途徑。對客觀世界中隨機現象的分析，產生了概率論。第二次世界大戰軍事上的需要，以及大工業與管理的複雜化產生了運籌學、系統論、控制論、數理統計學等學科。實際問題要求具體的數值解答，產生了計算數學。選擇最優途徑的要求又產生了各種優化的理論、方法。

力學、物理學同數學的發展始終是互相影響互相促進的，特別是相對論與量子力學推動了微分幾何與泛函分析的成長。此外在19世紀還只用到一次方程的化學和幾乎與數學無緣的生物學，都已要用到最前沿的一些數學知識。

十九世紀後期，出現了集合論，還進入了一個批判性的時代，由此推動了數理邏輯的形成與發展，也產生了把數學看作是一個整體的各種思潮和數學基礎學派。特別是1900年，德國數學家希爾伯特在第二屆國際數學家大會上的關於當代數學重要問題的演講，以及三十年代開拓的，以結構概念統觀數學的法國布爾巴基學派的興起，對二十世紀數學的發展產生了巨大、深遠的影響，科學的數學化一語也開始為人們所樂道。

數學的外圍向自然科學、工程技術甚至社會科學不斷滲透擴大並從中吸取營養，出現了一些邊緣數學。數學本身的內部需要也孽生了不少新的理論與分支。同時其核心部分也在不斷鞏固提高並有時作適當調整以適應外部需要。總之，數學這棵大樹茁壯成長，既枝葉繁茂又根深蒂固。

在數學的蓬勃發展過程中，數與形的概念不斷擴大且日趨抽象化，以至於不再有任何原始計數與簡單圖形的蹤影。雖然如此，在新的數學分支中仍有着一些對象和運算關係藉助於幾何術語來表示。如把函數看成是某種空間的一個點之類。這種做法之所以行之有效，歸根結底還是因為數學家們已經熟悉了那種簡易的數學運算與圖形關係，而後者又有着長期深厚的現實基礎。而且，即使是最原始的數字如1、2、3、4，以及幾何形象如點與直線，也已經是經過人們高度抽象化了的概念。因此如果把數與形作為廣義的抽象概念來理解，則前面提到的把數學作為研究數與形的科學這一定義，對於現階段的近代數學，也是適用的。

由於數學研究對象的數量關係與空間形式都來自現實世界，因而數學儘管在形式上具有高度的抽象性，而實質上總是紮根於現實世界的。生活實踐與技術需要始終是數學的真正源泉，反過來，數學對改造世界的實踐又起着重要的、關鍵性的作用。理論上的豐富提高與應用的廣泛深入在數學史上始終是相伴相生，相互促進的。

但由於各民族各地區的客觀條件不同，數學的具體發展過程是有差異的。大體説來，古代中華民族以竹為籌，以籌運算，自然地導致十進位值制的產生。計算方法的優越有助於對實際問題的具體解決。由此發展起來的數學形成了一個以構造性、計算性、程序化與機械化為其特色，以從問題出發進而解決問題為主要目標的獨特體系。而在古希臘則着重思維，追求對宇宙的瞭解。由此發展成以抽象了的數學概念與性質及其相互間的邏輯依存關係為研究對象的公理化演繹體系。

中國的數學體系在宋元時期達到高峯以後，陷於停頓且幾至消失。而在歐洲，經過文藝復興、宗教革命、資產階級革命等一系列的變革，導致了工業革命與技術革命。機器的使用，不論中外都由來已久。但在中國，則由於明初被帝王斥為奇技淫巧而受阻抑。

在歐洲，則由於工商業的發展與航海的刺激而得到發展，機器使人們從繁重的體力勞動中解放出來，並引導到理論力學和一般的運動和變化的科學研究。當時的數學家都積極參與了這些變革以及相應數學問題的解決，產生了積極的效果。解析幾何與微積分的誕生，成為數學發展的一個轉折點。17世紀以來數學的飛躍，大體上可以看成是這些成果的延續與發展。

20世紀出現各種嶄新的技術，產生了新的技術革命，特別是計算機的出現，使數學又面臨一個新時代。這一時代的特點之一就是部分腦力勞動的逐步機械化。與17世紀以來數學之以圍繞連續、極限等概念為主導思想與方法不同，由於計算機研製與應用的需要，離散數學與組和數學開始受到重視。

計算機對數學的作用已不限於數值計算，符號運算的重要性日趨明顯(包括機器證明等數學研究)。計算機還廣泛應用於科學實驗。為了與計算機更好地配合，數學對於構造性、計算性、程序化與機械化的要求也顯得頗為突出。代數幾何是一門高度抽象化的數學，最近出現的計算性代數幾何與構造性代數幾何的提法，即其端倪之一。總之，數學正隨着新的技術革命而不斷髮展。