2016學年九年級數學上期中試卷
如果不想在世界上虛度一生,那就要學習一輩子。下面是小編整理的2016學年九年級數學上期中試卷,歡迎大家試做。
一、選擇題(每題3分,共24 分)
1.化簡 的結果是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
2.下列二次根式中與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列命題中,真命題是( )
A. 兩條對角線垂直的四邊形是菱形
B. 對角線垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩條對角線相等的四邊形是矩形
D. 兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
4.估計﹣ +1的值( )
A. 在﹣3到﹣2之間 B. 在﹣4到﹣3之間 C. 在﹣5之﹣4間 D. 在﹣6到﹣5之間
5.關於x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a為常數)的根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數根 B. 可能有實數根,也可能沒有
C. 有兩個相等的實數根 D. 沒有實數根
6.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形,則四邊形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 對角線互相垂直的四邊形
C. 矩形 D. 對角線相等的四邊形
7.如圖,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度後得到△EDC,此時點D在AB邊上,斜邊DE交AC邊於點F,則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為( )
A. 30,2 B. 60,2 C. 60, D. 60,
8.如圖,已知四邊形ABCD是矩形,把矩形沿直線AC摺疊,點B落在點E處,連接DE.若DE:AC=3:5,則 的值為( )
A. B. C. D.
二、填空題(每題2分,共20分)
9.計算: ﹣ = ;( +1)( ﹣1)= .
10.一元二次方程﹣x2=x的解是 .
11.使代數式 有意義的x的取值範圍是 .
12.若關於x的方程x2﹣3x+k=0的一個根是0,則k值是 ,另一個根是 .
13.一組數據2,﹣1,0,x,1的極差是5,則x的值是 .
14.已知等腰梯形ABCD的中位線EF的長為6,腰長為3,則這個等腰梯形的周長為 .
15.如圖,已知P是 正方形ABCD對角線BD上一點,且BP=BC,則∠ACP度數是 度.
16.如圖,正方形ABCD的對角線AC是菱形AEFC的一邊,則∠FAB的度數為 .
17.如圖,依次連結第一個矩形各邊的中點得到第一個菱形,再依次連結所得菱形各邊的中點得到第二個矩形,
按照此方法繼續下去.已知第一個矩形的面積為2,則第2013個菱形的面積為 .
18.如圖,矩形紙片ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,CD上有一點E,EC=2cm,AD上有一點P,PA=6cm,過點P作PF⊥AD交BC於點F,將紙片摺疊,使P與E重合,摺痕交PF於Q,則線段PQ的長是 cm.
三、解答題(共20分)
19.計算:
(1) ﹣ + ;
(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.
20.解方程:
(1)x2﹣12x﹣4=0;
(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).
四、解答題(共36分)
21.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD於點E,CF⊥BC交BD於點F,且AE=CF.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
22.如圖,在△ABC中,D是邊AC上一點,且BD=BC,點E、F分別是DC、AB的中點.求證:
(1)EF= AB;
(2)過A點作AG∥EF,交BE的延長線於點G,則BE=GE.
23.觀察下列各式及其驗證過程:
=2 ,驗證: = = =2 .
=3 ,驗證: = = =3 .
(1)按照上述兩個等式及其驗證過程,猜想 的變形結果並進行驗證;
(2)針對上述各式反映的規律,寫出用a(a為自然數,且a≥2)表示的等式,並給出驗證;
(3)用a(a為任意自然數,且a≥2)寫出三次根式的類似規律,並給出驗證説理過程.
24.如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點,將△ABE沿AE摺疊後得到△AFE,點F在矩形ABCD內部,延長AF交CD於點G.
(1)猜想線段GF與GC有何數量關係?並證明你的結論;
(2)若AB=3,AD=4,求線段GC的長.
25.平面直角座標系中,有一Rt△ABC,且A(﹣1,3),B(﹣3,﹣1),C(﹣3,3),已知△A1AC1是由△ABC旋轉得到的.
(1)請寫出旋轉中心的座標是 ,旋轉角是 度;
(2)以(1)中的旋轉中心為中心,分別畫出△A1AC1順時針旋轉90°、180°的三角形.
26.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P從點D出發沿DA向終點A運動,同時動點Q從點A出發沿對角線AC向終點C運動.過點P作PE∥DC,交AC於點E,動點P、Q的運動速度是每秒1個單位長度,運動時間為t秒,當點P運動到點A時,P、Q兩點同時停止運動.
(1)用含有t的代數式表示PE= ;
(2)探究:當t為何值時,四邊形PQBE為梯形?
(3)是否存在這樣的點P和點Q,使△PQE為等腰三角形?若存在,請求出所有滿足要求的t的值;若不存在,請説明理由.
一、選擇題(每題3分,共24分)
1.化簡 的結果是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
考點: 二次根式的性質與化簡.
分析: 本題可先將根號內的數化簡,再開方,根據開方的結果得出答案.
解答: 解: = =3.
故選:A.
點評: 本題考查了二次根式的化簡,解此類題目要注意式子為(﹣3)2的算術平方根,結果為非負數.
2.下列二次根式中與 是同類二次根式的是( )
A. B. C. D.
考點: 同類二次根式.
分析: 運用化簡根式的方法化簡每個選項即可選出答案.
解答: 解:A、 =2 ,故A選項是;
B、 =3 ,故B選項不是;
C、 =2 故C選項不是;
D、 = ,故D選項不是.
故選:A.
點評: 本題主要考查了同類二次根式,解題的關鍵是熟記化簡根式的方法.
3.下列命題中,真命題是( )
A. 兩條對角線垂直的四邊形是菱形
B. 對角線垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩 條對角線相等的四邊形是矩形
D. 兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
考點: 菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.
分析: 本題要求熟練掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質以及之間的相互聯繫.
解答: 解:A、兩條對角線垂直並且相互平分的四邊形是菱形,故選項A錯誤;
B、對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形,故選項B錯誤;
C、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形,故選項C錯誤;
D、根據矩形的判定定理,兩條對角線相等的平行四邊形是矩形,為真命題,故選項D正確;
故選D.
點評: 本題考查的是普通概念,熟練掌握基礎的東西是深入研究的必要準備.
4.估計﹣ +1的值( )
A. 在﹣3到﹣2之間 B. 在﹣4到﹣3之間 C. 在﹣5之﹣4間 D. 在﹣6到﹣5之間
考點: 估算無理數的大小.
分析: 先求出 的範圍,再求出﹣ +1的範圍,即可得出選項.
解答: 解:∵3< <4,
∴﹣3>﹣ >﹣4,
∴﹣2>﹣ +1>﹣3,
即﹣ +1在﹣3到﹣2之間,
故選A.
點評: 本題考查了估算無理數的大小的應用,解此題的關鍵是求出 的範圍.
5.關於x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a為常數)的根的情況是( )
A. 有兩個不相等的實數根 B. 可能有實數根,也可能沒有
C. 有兩個相等的實數根 D. 沒有實數根
考點: 根的判別式.
分析: 先計算△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4,由於4a2≥0,則4a2+4 >0,即△>0,然後根據根的判別式的意義進行判斷即可.
解答: 解:△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4,
∵4a2≥0,
∴4a2+4>0,即△>0,
∴方程有兩個不相等的實數根.
故選A.
點評: 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac:當△>0,方程有兩個不相等的實數根;當△=0,方程有兩個相等的實數根;當△<0,方程沒有實數根.
6.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形,則四邊形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 對角線互相垂直的四邊形
C. 矩形 D. 對角線相等的四邊形
考點: 三角形中位線定理;菱形的判定.
分析: 根據三角形的中位線定理得到EH∥FG,EF=FG,EF= BD,要是四邊形為菱形,得出EF=EH,即可得到答案.
解答: 解:∵E,F,G,H分別是邊AD,DC,CB,AB的中點,
∴EH= AC,EH∥AC,FG= AC,FG∥AC,EF= BD,
∴EH∥FG,EF=FG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形,
假設AC=BD,
∵EH= AC,EF= BD,
則EF=EH,
∴平行四邊形EFGH是菱形,
即只有具備AC=BD即可推出四邊形是菱形,
故選:D.
點評: 本題主要考查對菱形的判定,三角形的中位線定理,平行四邊形的判定等知識點的理解和掌握,靈活運用性質進行推理是解此題的關鍵.
7.如圖,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,B C=2.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度後得到△EDC,此時點D在AB邊上,斜邊DE交AC邊於點F,則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為( )
A. 30,2 B. 60,2 C. 60, D. 60,
考點: 旋轉的性質;含30度角的直角三角形.
專題: 壓軸題.
分析: 先根據已知條件求出AC的長及∠B的度數,再根據圖形旋轉的性質及等邊三角形的判定定理判斷出△BCD的形狀,進而得出∠DCF的度數,由直角三角形的性質可判斷出DF是△ABC的中位線,由三角形的面積公式即可得出結論.
解答: 解:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴∠B=60°,AC=BC×cot∠A=2× =2 ,AB=2BC=4,
∵△EDC是△ABC旋轉而成,
∴BC=CD=BD= AB=2,
∵∠B=60°,
∴△BCD是等邊三角形,
∴∠BCD=60°,
∴∠DCF=30°,∠DFC=90°,即DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∵BD= AB=2,
∴DF是△ABC的中位線,
∴DF= BC= ×2=1,CF= AC= ×2 = ,
∴S陰影= DF×CF= × = .
故選C.
點評: 本題考查的是圖形旋轉的性質及直角三角形的性質、三角形中位線定理及三角形的面積公式,熟知圖形旋轉的性質是解答此題的關鍵,即:
①對應點到旋轉中心的距離相等;
②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角;
③旋轉前、後的圖形全等.
8.如圖,已知四邊形ABCD是矩形,把矩形沿直線AC摺疊,點B落在點E處,連接DE.若DE:AC=3:5,則 的值為( )
A. B. C. D.
考點: 矩形的性質;翻折變換(摺疊問題).
分析: 根據翻折的性質可得∠BAC=∠EAC,再根據矩形的對 邊平行可得AB∥CD,根據兩直線平行,內錯角相等可得∠DAC=∠BCA,從而得到∠EAC=∠DAC,設AE與CD相交於F,根據等角對等邊的性質可得AF=CF,再求出DF=EF,從而得到△ACF和△EDF相似,根據相似三角形對應邊成比例求出 = ,設DF=3x,FC=5x,在Rt△ADF中,利用勾股定理列式求出AD,再根據矩形的對邊相等求出AB,然後代入進行計算即可得解.
解答: 解:∵矩形沿直線AC摺疊,點B落在點E處,
∴∠BAC=∠EAC,AE=AB=CD,
∵矩形ABCD的對邊AB∥CD,
∴∠DCA=∠BAC,
∴∠EAC=∠DCA,
設AE與CD 相交於F,則AF=CF,
∴AE﹣AF=CD﹣CF,
即DF=EF,
∴ = ,
又∵∠AFC=∠EFD,
∴△ACF∽△EDF,
∴ = = ,
設DF=3x,FC=5x,則AF=5x,
在Rt△ADF中,AD= = =4x,
又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x,
∴ = = .
故選A.
點評: 本題考查了矩形的性質,平行線的.性質,等角對等邊的性質,相似三角形的判定與性質,勾股定理的應用,綜合性較強,但難度不大,熟記各性質是解題的關鍵.
二、填空題(每題2分,共20分)
9.計算: ﹣ = ;( +1)( ﹣1)= 1 .
考點: 二次根式的混合運算.
專題: 計算題.
分析: 把 化簡成最簡二次根式,然後把 ﹣ 進行合併即可;利用平方差公式計算( +1)( ﹣1).
解答: 解:: ﹣ = ﹣ = ;
( +1)( ﹣1)=( )2﹣1=2﹣1=1.
故答 案為 ,1.
點評: 本題考查了二次根式的混合運算:先把各二次根式化為最簡二次根式,再進行二次根式的乘除運算,然後合併同類二次根式.
10.一元二次方程﹣x2=x的解是 x1=0,x2=﹣1 .
考點: 解一元二次方程-因式分解法.
分析: 先移項,再分解因式,即可得出兩個一元一次方程,求出方程的解即可.
解答: 解:﹣x2=x,
x2+x=0,
x(x+1)=0,
x=0,x+1=0,
x1=0,x2=﹣1,
故答案為:x1=0,x2=﹣1.
點評: 本題考查瞭解一元二次方程的應用,主要考查學生解一元二次方程的能力,題目比較好,難度適中.
11.使代數式 有意義的x的取值範圍是 x≥﹣2 .
考點: 二次根式有意義的條件.
分析: 根據被開方數大於等於0列式計算即可得解.
解答: 解:由題意得,2+x≥0,
解得x≥﹣2.
故答案為:x≥﹣2.
點評: 本題考查的知識點為:二次根式的被開方數是非負數.
12.若關於x的方程x2﹣3x+k=0的一個根是0,則k值是 0 ,另一個根是 3 .
考點: 一元二次方程的解.
專題: 計算題.
分析: 先根據一元二次方程的解,把x=0代入原方程得到k的一次方程,解一次方程得到k的值,然後把k的值代入原方程,再利用因式分解法解方程得到方程另一個根.
解答: 解:把x=0代入x2﹣3x+k=0得k=0,
所以原方程變形為x2﹣3x=0,解得x1=0,x2=3,
所以方程另一個根是3.
故答案為0,3.
點評: 本題考查了一元二次方程的解 :能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根,所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.
13.一組數據2,﹣1,0,x,1的極差是5,則x的值是 ﹣3或4 .
考點: 極差.
分析: 根據極差的公式:極差=最大值﹣最小值.x可能是最大值,也可能是最小值,分兩種情況討論.
解答: 解:當x是最大值時,則x﹣(﹣1)=5,
所以x=4;
當x是最小值 時,則2﹣x=5,
所以x=﹣3.
故答案為﹣3或4.
點評: 本題考查了極差的定義,極差反映了一組數據變化範圍的大小,求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值.同時注意分類的思想的運用.
14.已知等腰梯形ABCD的中位線EF的長為6,腰長為3,則這個等腰梯形的周長為 18 .
考點: 梯形中位線定理;等腰梯形的性質.
分析: 此題只需根據梯形的中位線定理求得梯形的兩底和,即可進一步求得梯形的周長.
解答: 解:∵等腰梯形ABCD的中位線EF的長為6,
∴AB+CD=2×6=12.
又∵腰AD的長為3,
∴這個等腰梯形的周長為AB+CD+AD+BC=12+3+3=18.
故答案為:18.
點評: 本題考查的是梯形的中位線定理及等腰梯形的性質,熟知梯形中位線定理是解答此題的關鍵.
15.如圖,已知P是正方形ABCD對角線BD上一點,且BP=BC,則∠ACP度數是 22.5 度.
考點: 正方形的性質.
專題: 計算題.
分析: 根據正方形的性質可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC,從而可求得∠BCP的度數,從而就可求得∠ACP的度數.
解答: 解:∵ABCD是正方形,
∴∠DBC=∠BCA=45°,
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