高中數學弦切角定理的證明方法
弦切角是幾何中的定理,那它們是怎麼被證明的呢?證明的方法是怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的弦切角定理證明方法內容,希望大家喜歡。
弦切角定理證明方法一1)連OC、OA,則有OC⊥CD於點C。得OC‖AD,知∠OCA=∠CAD。
而∠OCA=∠OAC,得∠CAD=∠OAC。進而有∠OAC=∠BAC。
由此可知,0A與AB重合,即AB為⊙O的直徑。
(2)連接BC,且作CE⊥AB於點E。立即可得△ABC為Rt△,且∠ACB=Rt∠。
由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE,AC公用,∠CDA=∠CEA,得△CEA≌△CDA,有AD=AE,所以,AC²=AB*AD。
第一題重新證明如下:
首先證明弦切角定理,即有∠ACD=∠CBA 。
連接OA、OC、BC,則有
∠ACD+∠ACO=90°
=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)
=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)
=∠ACO+(1/2)∠AOC,
所以∠ACD=(1/2)∠AOC,
而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等於圓心角的一半),
得∠ACD=∠CBA 。
另外,∠ACD+∠CAD=90°,∠CAD=∠CAB,
所以有∠CAB+∠CBA=90°,得∠BCA=90°,進而AB為⊙O的直徑。
弦切角定理證明方法二證明一:設圓心為O,連接OC,OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等於圓周角的兩倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度數等於它所夾的'弧的圓周角)
證明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切線,A為切點,弧是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證:(弦切角定理)
證明:分三種情況:
(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑,AB切⊙O於A,
∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,
∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內部.
過A作直徑AD交⊙O於D,
若在優弧m所對的劣弧上有一點E
那麼,連接EC、ED、EA
則有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圓心O在∠BAC的外部,
過A作直徑AD交⊙O於D
那麼 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
弦切角定理證明方法三若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等
應用舉例
例1:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB為弦的⊙O與AC相切於點A,∠CBA=60° , AB=a 求BC長.
解:連結OA,OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等於斜邊的一半)
例2:如圖,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經過點A的⊙O與BC切於點D,與AB,AC分別相交於E,F.
求證:EF∥BC.
證明:連DF.
AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC於D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3:如圖,ΔABC內接於⊙O,AB是⊙O直徑,CD⊥AB於D,MN切⊙O於C,
求證:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.
證明:∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B,
∵MN切⊙O於C
∴∠MCA=∠B,
∴∠MCA=∠ACD,
即AC平分∠MCD,
同理:BC平分∠NCD.
-
個人收入證明[集錦15篇]
在平凡的學習、工作、生活中,大家都不可避免地要接觸到證明吧,根據用途的不同,證明的種類也不盡相同。我敢肯定,大部分人都對擬定證明很是頭疼的,下面是小編為大家整理的個人收入證明,僅供參考,歡迎大家閲讀。個人收入證明1茲證明我公司(___________________)員工______...
-
2023員工在職證明書
在日復一日的學習、工作或生活中,説到證明,大家肯定都不陌生吧,證明一般由標題、稱呼、正文、署名和日期等構成。我敢肯定,大部分人都對擬定證明很是頭疼的,下面是小編幫大家整理的2023員工在職證明書,希望能夠幫助到大家。2023員工在職證明書1XX銀行:茲證明xxx先生(...
-
財務情況説明書作用(通用7篇)
説明書是以應用文體的方式對某事或物來進行相對的詳細描述,方便人們認識和了解某事或物。下面是小編整理的財務情況説明書作用,歡迎大家分享。財務情況説明書作用篇1一、企業概況及生產特點中原機牀股份有限公司是由長城機械股份有限公司、江漢投資股份有限公司...
-
工作失誤情況説明檢討書(通用9篇)
在學習、工作、生活中犯錯誤以後,我們要認真地反思檢討,在寫檢討書的時候要注意用語誠懇。怎樣寫檢討書才能做到語言準確呢?下面是小編收集整理的工作失誤情況説明檢討書,供大家參考借鑑,希望可以幫助到有需要的朋友。工作失誤情況説明檢討書1尊敬的校領導:你們好!5月...