2016大学联考数学必考知识点:导数的应用
为帮助考生更好理解大学联考数学必考知识点——导数的应用,yjbys为大家分享关于导数的应用知识点讲解及例题如下:
一、函数的单调性
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.
f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.
典型例题1:
1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分
不必要条件.
2、可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点.
3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.
二、函数的极值
1、函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的.左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2、函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
典型例题2:
三、函数的最值
1、在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
2、
若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
典型例题3:
四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法
1、确定函数f(x)的定义域;
2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
典型例题4:
五、求函数极值的步骤
1、确定函数的定义域;
2、求方程f′(x)=0的根;
3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格;
4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况.
六、求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
1、求函数在(a,b)内的极值;
2、求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
3、将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
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