国小奥数数论知识讲解:奇数偶数与奇偶性分析
【奇数和偶数】
例1 用l、2、3、4、5这五个数两两相乘,可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多?
讲析:如果两个整数的积是奇数,那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中,只有三个奇数,两两相乘可以得到3个不同的奇数积。而偶数积共有7个。所以,乘积中是偶数的多。
例2 有两组数,甲组:1、3、5、7、9……、23;乙组:2、4、6、8、10、……24,从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加,能得到______个不同的和。
讲析:甲组有12个奇数,乙组有12个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和,必为奇数,其中最大是47,最小是3。从3到47不同的奇数共有23个。所以,能得到23个不同的和。本题中,我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加,会得到12×12=144(个)不同的和。因为其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】
例1 某班同学参加学校的数学竞赛。试题共50道。评分标准是:答对一道给3分,不答给1分,答错倒扣1分。请你说明:该班同学得分总和一定是偶数。
讲析:如果50道题都答对,共可得150分,是一个偶数。每答错一道题,就要相差4分,不管答错多少道题,4的倍数总是偶数。150减偶数,差仍然是一个偶数。同理,每不答一道题,就相差2分,不管有多少道题不答,2的倍数总是偶数,偶数加偶数之和为偶数。所以,全班每个同学的分数都是偶数。则全班同学的得分之和也一定是个偶数。
例2 5只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转4只杯子,经过若干次后,能否使杯口全部朝下?
讲析:一只杯口朝上的杯子,要想使杯口朝下,必须翻转奇数次。要想5只杯口全都朝上的杯子,杯口全都朝下,则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。现在每次只翻转4只杯子,无论翻多少回,总次数一定是偶数。所以,不能使杯口全部朝下。
例3 某班共有25个同学。坐成5行5列的方阵。我们想让每个同学都坐到与他相邻的座位上去。(指前、后、左、右),能否做得到?
讲析:如图5.44,为了方便,我们将每一格用A或B表示,也就是与A相邻的用B表示,与B相邻的用A表示。要想使每位同学都坐到相邻座位上去,也就是说坐A座位的同学都要坐到B座位上去,而坐B座位上的同学都要坐到A座位上去。但是,A座位共13个,而B座位共12个,所以,不管怎样坐,要想坐A座位的同学都坐到B座位上去,是办不到的'。
例4 线段AB的两个端点,一个标以红色,一个标以蓝色。在线段中间插入1991个分点,每个分点随意标上红色或蓝色。这样分得1992条不重叠的小线段,如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段,那么标准线段的条数是奇数还是偶数?
讲析:每插入一个点,无论其颜色怎样,其非标准线段的条数增加0条或2条,所以插入1991个点后,非标准线段增加总数是一个偶数。又原非标准线段条数为1,是一个奇数,故最后得到的非标准线段必为奇数。非标准线段条数+标准线段条数=1992条。所以,标准线段的条数是奇数。
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