如何用多種數學思想方法巧解一道大學聯考題
文章摘要:數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識,數學方法是數學思想的具體化形式,實際上兩者的本質是相同的,差別只是站在不同的角度看問題,本文選取一個小小的選擇題,竟涵蓋著多種種數學思想!…
數學才子參加了高三班的元旦晚會,在熱烈的掌聲中才子登臺唱歌,歌詞是:
函式方程不可分數形結合好傳神等價轉換繁歸簡分類討論整化零……
有人說:數學思想只供唱,數學題目是硬仗!
才子聽見了,接著唱他的:
硬仗何必枉費力,問題深處藏玄機,思想方法運用好,一指點破無難題。
又有人說:有的題目很簡單,搬動思想太麻煩!你看,數學園地上的這道小考題,有什麼數學思想值得說的呢?
才子抬頭一看,原來是2007年全國卷數學甲卷的第6題:
不等式的解集是
A.(-2,1) B.(2,∞)
C.(-2,1)∪(2,∞) D.(-∞,1)∪(2,∞)
才子唱道:
此題說小也不小,思想劃線分拙巧,拙解需要三分鐘,巧解只需二十秒!
滿場活躍,才子問,你們要我用哪種思想解題?
比如“等價轉換思想”!
才子手一揮!那好辦,原不等式等價於不等式(x-1)(x2-4)>0.
大家一驚:這個整式不等式能與分式不等式等價嗎?再一看,的確是的精彩!
有人接著問:函式方程思想呢?
才子答:就在這裡,令f(x)=(x-1)(x2-4)
解不等式(x-1)(x2-4)>0實為求函式f(x)的正值區間。
而解這個不等式,操作上是先解方程(x-1)(x2-4)=0
至此,問者連連點頭:不錯,不錯,函式,方程,還有不等式,三位一體。
有人追問,數形結合思想,在這裡如何體現?
才子答,讓我順手牽來!畫出如下的數軸根序圖:
這就是本題的數形結合!
有人再追問:分類討論思想呢?
才子點頭:分類討論是解分式不等式的基本思想。
原不等式化歸如下兩不等式組來解:
這就是分類討論思想的操作!
至此,大家很滿意,一個小小的選擇題,竟涵蓋著這麼豐富的數學思想。有思想和無思想的人,對本題的理解程度和操作藝術,自然不在同一個層上。然而,才子的`“思想”還沒有完:你們看如下的解法,屬哪個數學思想的範疇?
令x=0,它是原不等式的解,由此淘汰B和D.
令x=3,它也是原不等式的解,由此淘汰A.
因此,本題的答案是C.
有人搶答,這是“一般特殊思想”的體現,特值法解選擇題就是這種思想的運用。
這時,場上更活躍,並出現了爭論,對第6種數學思想-有限無限思想,在本題中,有體現嗎?
有的說有,有的說沒有,要求才子作裁判。
才子笑著說:一種數學思想,如果沒有普遍性,他還稱得上“思想”嗎?
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