2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷及答案
大學聯考是全國性的考試,備戰大學聯考的複習很重要,我們需要多做一些大學聯考模擬試題,以下是本站小編為你整理的2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷,希望能幫到你。
2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷題目一、填空題(55分)本大題共有11題,要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果,每個空格填對得5分,否則一律得零分.
1.已知集合 , ,則 ________.
2.若實數 , 滿足約束條件 則 的最大值等於________.
3.已知 展開式中 的係數為84,則正實數 的值為 .
4.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球,其中紅色球3個,黃色球2個.若從中隨機取出2個球,則所取出的2個球顏色不同的概率為________.
5.設 為R上的奇函式.當 時, ( 為常數),則 的值為________.
6.設 分別為直線 ( 為引數)和曲線 : ( 為引數)的點,則 的最小值為 .
7.各項均不為零的數列 的前 項和為 . 對任意 ,
都是直線 的法向量.若 存在,則實數 的取值範圍是________.
8.已知正四稜錐 的稜長都相等,側稜 、 的中點分別為 、 ,則截面 與底面 所成的二面角的餘弦值是________.
9.設 ,若對於任意的 ,都有 ,則 的取值範圍是________.
10.若適合不等式 的 的最大值為3,則實數 的值為_______.
11.已知 ,數列 滿足 ,對於任意 都滿足 ,且 ,若 ,則 的值為_________.
二、選擇題(20分)本大題共有4題,每題都給出四個結論,其中有且只有一個結論是正確的,必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號塗黑,選對得5分,否則一律得零分.
12.已知 則“ ”是“ ”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
13.已知複數 滿足 ( 是虛數單位),則 的虛部為( ).
A. B.-1 C.1 D.- [
14.當 時,方程 的根的個數是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
15.曲線 為:到兩定點 、 距離乘積為常數 的動點 的軌跡.以下結論正確的個數為( ).
(1)曲線 一定經過原點;
(2)曲線 關於 軸對稱,但不關於 軸對稱;
(3) 的面積不大於8;
(4)曲線 在一個面積為60的矩形範圍內.
A.0 B.1 C.2 D.3
三、解答題(本題滿分75分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙的規定區域(對應的題號)內寫出必要的步驟.
16.(本題滿分12分,第1小題6分,第2小題6分)
如圖,等腰 , ,點 是 的中點, 繞 所在的邊逆時針旋轉一週.
(1)求 旋轉一週所得旋轉體的體積 和表面積 ;
(2)設 逆時針旋轉至 ,旋轉角為 ,且滿足 ,求 .
17.(本題滿分14分,第1小題7分,第2小題7分)
設函式 .
(1)求函式 的最大值和最小正週期;
(2)設 、 、 為 的三個內角,若 , ,求 .
18.(本題滿分15分,第1小題6分,第2小題9分)
某化工廠從今年一月起,若不改善生產環境,按生產現狀,每月收入為70萬元,同時將受到環保部門的處罰,第一個月罰3萬元,以後每月增加2萬元.如果從今年一月起投資500萬元添加回收淨化裝置(改造裝置時間不計),一方面可以改善環境,另一方面也可以大大降低原料成本.據測算,添加回收淨化裝置並投產後的前5個月中的累計生產淨收入 是生產時間 個月的二次函式 ( 是常數),且前3個月的累計生產淨收入可達309萬,從第6個月開始,每個月的生產淨收入都與第5個月相同.同時,該廠不但不受處罰,而且還將得到環保部門的.一次性獎勵100萬元.
(1)求前8個月的累計生產淨收入 的值;
(2)問經過多少個月,投資開始見效,即投資改造後的純收入多於不改造時的純收入.
19.(本題滿分16分,第1小題7分,第2小題9分)
設點 、 是平面上左、右兩個不同的定點, ,動點 滿足:
.
(1)求證:動點 的軌跡 為橢圓;
(2)拋物線 滿足:①頂點在橢圓 的中心;②焦點與橢圓 的右焦點重合.
設拋物線 與橢圓 的一個交點為 .問:是否存在正實數 ,使得 的邊長為連續自然數.若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.
20.(本題滿分18分,第1小題4分,第2小題7分,第3小題7分)
已知等差數列 的前 項和為 , , 為整數,且對任意 都有 .
(1)求 的通項公式;
(2)設 , ( ),求 的前 項和 ;
(3)在(2)的條件下,若數列 滿足 .是否存在實數 ,使得數列 是單調遞增數列.若存在,求出 的取值範圍;若不存在,說明理由.
2018屆上海市靜安區大學聯考數學模擬試卷答案一、1. ; 2.12; 3.2;
4.35; 5. 6. ;
7. ; 8.255; 9.
10.8; 11. .
二、12.A; 13.C; 14.C; 15.B.
三、16.解:(1) ;﹒﹒﹒3分
﹒﹒3分
(2)如圖建立空間直角座標系,得
, ,
由三角比定義,得 ﹒﹒﹒﹒1分
則, , ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
,得 , , ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以, .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
16.解:(1)因為
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
, ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以,函式 的最大值為 ,最小正週期 . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
(2)由 ,得 ,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
解得, 或 (捨去). ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
因此, . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
18.解:(1)據題意 ,解得 ,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
第5個月的淨收入為 萬元,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以, 萬元.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
(2)
即 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
要想投資開始見效,必須且只需
即 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
當 時,
即 不成立;﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
當 時, 即 ,﹒﹒﹒﹒2分
驗算得, 時, . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以,經過9個月投資開始見效. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
19.解:(1)若點 構成三角形則
,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
整理得 ,即 .1分
若點 不構成三角形,也滿足 .1分
所以動點 的軌跡為橢圓.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(2)動點 的軌跡方程為 . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
拋物線的焦點座標為 與橢圓的右焦點 重合.
假設存在實數 ,使得 的邊長為連續自然數.
因為 ,
不妨設| , . ﹒﹒﹒﹒﹒2分
由拋物線的定義可知 ,解得 ,﹒﹒﹒﹒﹒1分
設點 的座標為 ,
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
整理得 ,解得 或 .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以存在實數 ,使得 的邊長為連續自然數.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
20.解:(1)設 的公差為 ,由題意得 , ﹒ ﹒﹒﹒2分
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(2)當 為偶數時, . ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
① 當 為奇數時 ,
.
當 時也符合上式. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
② 當 為偶數時, ﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(3)
由題意得, 對任意 都成立,
① 當 為奇數時, ,
當 時, , ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
② 當 為偶數時, ,
當 2時, , .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
綜上: .﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
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