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一、選擇題(每小題5分,共60分)
1. 在① ;② ;③ ; ④ ≠ 上述四個關係中,錯誤的個數是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2. 已知全集 ,集合 , ,那麼集合 ( )
A. B. C. D.
3. 已知集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
4. 函數 在 上為減函數,則實數 的取值範圍是( )
A. B. C. D.
5. 集合 各有兩個元素, 中有一個元素,若集合 同時滿足:(1) ,(2) ,則滿足條件 的個數為 ( )
A. B. C. D.
6. 函數 的遞減區間是 ( )
A. B.
C. D.
7. 設 是兩個非空集合,定義 與 的差集為 ,則 等於( )
A. B. C. D.
8. 若函數 的定義域是 ,則函數 的定義域是 ( )
A. B. C. D.
9. 不等式 的解集是空集,則實數 的範圍為( )
A. B. C. D.
10.若函數 在 上為增函數,則實數 的取值範圍為( )
A. B. C. D.
11. 設集合 , ,且 都是集合
的子集合,如果把 叫做集合 的“長度”,那麼集合 的“長度”的最小值是( )
A. B. C. D.
12. 對實數 和 ,定義運算“ ”: 設函數 ,
,若函數 的圖象與 軸恰有兩個公共點,則實數 的取值範圍是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.函數 若 ,則 .
14.已知集合 ,集合 ,若 ,則實數 = .
15.某果園現有100棵果樹,平均每一棵樹結600個果子.根據經驗估計,每多種一顆樹,平均每棵樹就會少結5個果子.設果園增種 棵果樹,果園果子總個數為 個,則果園裏增種 棵果樹,果子總個數最多.
[來源:學科網ZXXK]
16.定義在 上的函數 滿足 ,則 .
三、解答題(共70分)
17.(本題滿分10分)
設 , .
(Ⅰ) 求 的值,並寫出集合 的所有子集;
(Ⅱ) 已知 ,設全集 ,求 .
18.(本題滿分12分)
已知集合 ,
(I)若 , ,求實數 的取值範圍;
(II)若 , ,求實數 的取值範圍.
19.(本題滿分12分)
已知函數 .
(I)計算 , , 及 的值;
(II)由(I)的`結果猜想一個普遍的結論,並加以證明;
(III)求值: .
20.(本題滿分12分)
已知函數 .
(I)當 時,求函數 的值域;
(II)若集合 ,求實數 的取值範圍.
21.(本題滿分12分)
已知定義在區間 上的函數 滿足 ,且當 時, .
(I)求 的值;
(II)判斷 的單調性並予以證明;
(III)若 解不等式 .
22.(本題滿分12分)
已知函數 , ,對於 , 恆成立.
(Ⅰ)求函數 的解析式;
(Ⅱ)設函數 .
①證明:函數 在區間在 上是增函數;
②是 否存在 正實數 ,當 時函數 的值域為 .若存在,求出 的值,若不存在,則説明理由.
高一數學試卷參考答案
1-5:BCAAD 6-10:DBCBA 11-12:DB
13. 0 14. 1 15. 10 16. 6
17.解:(1)
,解得 ,A=
={2, }
A的子集為 ,{2},{ },{2, } ---------------5分
(2) ={2, ,-5}
={ ,-5} ---------------10分
18.解:解不等式 ,得 ,即
(1)
①當 時,則 ,即 ,符合題意;
②當 時,則有
解得:
綜上:
(2)要使 ,則 ,所以有
解得:
19.解:(1)解得 , , ,
(2)猜想: ,證明如下。
∵ ,則
∴
(3)∵
∴ , ,..., ,
且 ,即
∴ .
20.解:(1)當 時, ,
從 而, 的最小值是 ,最大值是 ,
即 的值域是 .
(2) 集合 ,即方程 在 有實根,
等價於求函數 在 上的值域.令 ,則
.再令 ,
則 ,當 時, 有最大值 ,即 .
21.解:(1)令 ,代入得 ,故 .
(2)任取 ,且 則 ,由於當 時, ,
所以 ,即 ,因此 .
所以函數 在區間 上是單調遞減函數.
(3) 由 得 ,而 ,所以 .
由函數 在區間 上是單調遞減函數,且 ,
得 ,因此不等式的解集為 .
22.解:(1) ∵ ∴
恆成立
,
------ --------3分
(2)
①證明 : 則
∴函數g(x)在區間在[1,+∞)是增函數。--------------7分
②分三種情況討論:
(i)n>m>1, , ,不合
(ii)0(iii)0綜上,不存在 滿足題意. --------------12分
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