國中物理競賽例題解題技巧

國中物理競賽解題技巧概説

一、等效概念的應用

例1、一對火線和零線從一堵正方形牆上走過，牆的正中央開了一扇正方形木窗（如圖1）。火線在A處和零線在B處發生漏電，如果測得流過下邊牆上的電流約200ｍA，那麼總的漏電電流約為________________ｍA。

解：漏電電流的大小是由A、B間的漏電電阻決定的，其電阻值可看做是自A經窗户上沿的牆至B的漏電電阻R上與自A經窗户的左牆到下牆，再經右牆至B處的漏電電阻R下的並聯值，即

R漏＝（R上·R下/R上＋R下）＝（R·3R/R＋3R）＝（3/4）R。

由分流公式I下＝（R上/R上＋R下）I總＝（I總/4），得總漏電

電流為I總＝800ｍA。

例2、正方形薄片電阻片如圖2所示接在電路中，電路中電流為I；若在該電阻片正中挖去一小正方形，挖去的正方形邊長為原電阻片邊長的三分之一，然後將帶有正方形小孔的電阻片接在同一電源上，保持電阻片兩端電壓不變，電路中的電流I′變為________________。 解：由於薄片兩邊嵌金屬片，將正方形薄片的電阻可等效為圖3所示。設每小塊的電阻為R，則薄片總電阻是3個3R電阻的並聯值，其值也是R。現從中挖出一塊，此時薄片等效電阻如圖4所示。顯然其阻值是（7R/6），故I′＝U/（7R/6）＝（6/7）

I。

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圖3 圖4

例3、三個相同的金屬圓環兩兩正交地連接成如圖5所示形狀。若每個四分之一圓周金屬絲電阻為R時，測得A、B間電阻為RAB。今將A、B間一段金屬絲改換成另一個電阻為R/2的一段四分之一圓周的金屬絲，並在A、B間加上恆定電壓U，試求消耗的總功率? 解：用常規的混聯電路計算模式去解答，顯然不易湊效。由等效電阻的概念，可設去掉

A、B間一段四分之一圓周的金屬絲後剩餘部分電阻為Rx，則RAB可等效為Rx與R的並聯值。即

RAB＝R·Rx/（R＋Rx），

Rx＝RRAB/（R－RAB）。

現將R′＝（R/2）電阻絲並在A、B端，從A、B端看進去，此時電

阻為

R總＝RxR′/（Rx＋R′）＝RRAB/（R＋RAB），

電流所消耗的功率為

P＝（U2/R總）＝U2（R＋RAB）/（R·RAB）。

例4、某電路有8

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個節點，每兩個節點之

物

間都連有一個阻值為2Ω的電阻，在此電路的任意兩個節點之間加上10Ｖ電壓，求電路各支路的電流及電流所消耗的總功率。（要求畫出電路圖）

解：電路有8個節點且每兩個節點間又以相同阻值的電阻相互連接，故電路中的支路多，電路顯得複雜。所以該題的第一個考點是畫出電路圖。據題意可知對每個節點，它們與外電路連接的結構方式相同，若把這8個節點等分放置在具有軸對稱的圓周上，然後把圓上的每一分點依次同其餘7個分點相連，得電路結構圖如圖6（A）所示。由題意知電源是加在任意兩節點間，設電源加在點A、B即圖6（A）中的1、2兩點間。這時餘下的6個節點與A、B端連接的結構方式完全相同，故此6個節點對電源兩端的電勢相等，我們知道等電勢點間無電流流通，這樣可把等電勢點間相接的2Ω電阻都去掉，最後可得等效電路如圖6（b）所示。

因為：1/RAB＝1/R12＋（1/2R）×6＝（4/R）。

則：RAB＝0．5Ω。

流經R12的電流為（UAB/R12）＝5A，

（UAB/2R）＝2．5A。

P＝（U2/RAB）＝200Ｗ。 流經其餘6個節點電流均為電路消耗總功率為

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二、對稱性概念的應用

對稱性分析在電路中有重要應用，

在光學考題，特別是關於鏡面成像，

更要注意它的'應用。

例5、如圖7（A）所示，兩面豎

直放置的平面鏡互成直角，一隻沒有數字的鐘為3點整，在A處的人向O點看（

A．看見九點的鐘；

B．看見三點的鐘；

C．能看見鍾，但指針位置不正常；

D．根本看不見鍾。

解：平面鏡成像，規律是物、像左右對稱；如圖7（b）所示，S1是鐘錶S關於鏡M1所成的像，像是9點整的鐘表；現S1處在M2鏡前，所以S1在M2鏡後還要繼續成像為S2，在A處的人向O點看，看到的是3點整的鐘表。

例6、一光學系統如圖8（A）所示，A為物平面，垂直光軸，L為凸透鏡，M為與光軸成45°角的平面鏡。像平面P垂直於經平面鏡反射後的軸。圖8（b）為同一光學系統的實物圖。設物為A面上的一個“上”字，在像平面P上能得到物體的清晰像，試在圖8（b）中的像平面P上畫出像的形狀。

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）

物

解：凸透鏡成像，其規律是像是繞光軸旋轉180°的倒立實像。如圖8（c）所示，假設無平面反射鏡M，像平面應放在P′處，像平面P′上的像相對物恰好以光軸旋轉180°。現在像方空間增加平面鏡，光軸被彎折90°成像在P平面，依對稱性P′上的假想像與P上實際像應關於鏡面M對稱（把P′與P平面上的像逆着光軸推移到M處，兩像應完全重合），最後的成像如圖8（c）像平面P上像的形狀。

用作圖來處理例6題，顯然是不方便的，注意成像的對稱性原則，思路就十分清晰和明朗。

例7、平面鏡M、N互成φ角放在水平桌面上，它們均與桌面垂直。如圖9所示，放在兩鏡面前的點光源S（圖中未標出），隨着它位置的變化，既可能在M、N兩鏡中共成3個像，也可能在兩鏡中僅成2個像。求：

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圖9

（1）

間夾角φ

大?

（2）在

出並標明

2個像和僅

個像的區域，説明僅可成2個像區域的形狀及範圍。 M、N之至少多圖中畫僅能成可成3

解：由例5題分析可知：若處在兩鏡間光點對一鏡所成的像點是處在另一鏡的前面，則該像點對另一鏡還可繼續成像，直至最後的像點落在兩鏡的鏡面之後，成像才終止。考慮到對稱性，對兩鏡以其交點O為圓心作一圓周，如圖10所示。若兩鏡的夾角φ恰為120°，光點S又恰在角平分線上，S對M鏡的像點N′恰落在N鏡的反向延長線上；S對N鏡的像點M′恰落在M鏡的反向延長線上。這種情況S對兩鏡只能成兩個像；若光點不在角平分線上，而是在其它區域，則可成3個像。如圖10所示，S1是光點S關於M鏡所成的像，S2是光點S關於N鏡所成的像，S３是像點S2關於M鏡所成的像。若兩鏡的夾角φ大於120°，光點S對M鏡成像的像點如果恰落在N鏡的反向延長線上的N′點，則光點S應放在圖11中的N″點處。類似前面分析知：當光點處於∠MON″的區域以內時，它可在兩鏡面成3個像，同理光點處於∠NOM″的區域以內時也成3個像。當光點在∠N″OM″區域內時只能成兩個像。如圖11所示，當光點S放在Ⅰ、Ⅲ區域對兩鏡成3個像；放在Ⅱ區域時成2個像。

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物

在圖11中，∠N′OM＝180°－φ＝∠MON″＝∠NOM″＝θ，故區域Ⅱ的範圍為∠M″ON″＝180°－3θ＝3φ－360°。

三、極值概念的應用

如何運用數學原理處理物理極值問題，這是考題每年都會涉及的問題。將其類型可歸納為：二次函數的極值型；用一元二次方程根的判別式而求解的極值型；求解矢量三角形最短邊的極值型；由三角函數而求解的極值型，

1．用二次函數求解的極值型

例8、如圖12所示，電路中電源電壓為9Ｖ，R０＝0．2Ω，R1＝2Ω，R2＝3Ω，總電阻R′＝5Ω。當滑動觸頭P由a端滑向b端時，電流表的變化範圍是多少?

解：設RPA＝Rx，則RPb＝R′－Rx，對電源而言，電路總電阻為

R總＝R０＋（R1＋Rx）（R2＋R′－Rx）/（R1＋R2＋R′），

代入數值，得：R總＝－0．1Rx2＋0．6Rx＋1．8。

由二次函數極值條件（y=ax2＋bx+c,當x=-（b/2A）時，y極值＝（4ac-b2）

/4a，即

Rx=－0．6/（2×（－0．1））Ω＝3Ω， 有R總極大＝（4×（－0．1）×1．8－0．62/4×（－0．1））Ω＝2．7Ω， 電流有極小值I極小＝（U/R總極大）＝3．3A。

當P滑至a端，Rx=0，此時R總有最小值1．8Ω，故：I最大＝（U/R總最小）＝5A。 P滑至b端時，有Rx＝5Ω，R總＝2．3A，I＝3．9A。

P在整個滑動過程中，電流表示數由5A減小到3．3A，然後又增至3．9A，其變化範圍為3．3～5A。

2．用一元二次方程根的判別式求解的極值型

例9、如圖13所示裝置，O為槓桿OA的支點，在離O點L0處掛着一個質量為M的物體。每單位長度槓桿的質量為m，當槓桿的長度為________時，可以用最小的力F維持槓桿平衡。

解：設杆長為L，由力矩平衡方程，得

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物

例10、在如圖14所示的分壓電路中，電壓U恆定不變，滑動變阻器的總阻值R＝100Ω。要求滑動觸頭P在上下移動的過程中，負載RL上電壓UL始終不低於空載（即不接RL）時輸出電壓的90%，那麼RL的最小值應是________Ω。 解設P滑至某一位置時，滑動變阻器R的下端電阻為Rx，則其上端電阻為100－Rx，若UL能滿足要求，應有

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為保證Rx在實數範圍有解，其根判別式滿足Δ≥0，

即 Δ＝902－36RL≥0， 得 RL≥225Ω，

取最小值為 RL＝225Ω。

3．求解矢量三角形中最短邊的極值問題

（1）平行四邊形法則與矢量三角形的應用

（2）在力、相對運動、追擊一類問題的考題中，常涉及如何利用

矢量的邊角關係求解最短邊的極值問題。

例11、如圖15（a）所示，某人站在離公路垂直距離為60ｍ的A

處，發現公路上有一輛汽車由B點以10ｍ/s的速度沿公路勻速前進，

B點與人相距100m，那麼此人至少以______________速度奔跑，才能與汽車相遇。

解：車對地速度大小、方向確定，人對車的速度其方向確定（人始終是追隨汽車而奔跑），而大小可變。由相對運動速度公式：v人對地＝v人對車＋v車對地，畫速度矢量三角形，如圖15（b）所示。由圖中看出，從人與車的相遇點D′向人對車的速度方向所引線段長度D′A′（即v人對地的速度大小），僅當D′A′⊥A′B′時，值最小。結合圖15（a）、（b）所示，由△ABD∽△D′B′A′，得 v人對地/v車對地＝AD/AB＝60/100。

即 v人對地＝6ｍ/s。