考研數學證明題三步解決的方法
縱觀近十年考研數學真題,可以看到:幾乎每一年的試題中都會有一個證明題,而且基本上都是應用中值定理來解決的。但是要參加碩士入學數學統一考試的同學們在大學學習高等數學時,邏輯推理能力不足以達到考研數學的要求,這就導致考研數學考試中遇到證明推理題就會一籌莫展,這導致對於如此簡單的證明題得分率也極低。除了個別考研輔導書中有一些證明思路之外,大多數考研輔導書在這一方面沒有花太大力氣。在此給大家簡單介紹一些解決數學證明題的入手點,希望對有此隱患的同學有所幫助。+
證明題可以分三步走:
第一步:結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理,包括條件及結論。瞭解基本原理是證明的基礎,瞭解的程度不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的`存在性並求極限。只要證明了極限存在,求值是很容易的,但是如果沒有證明第一步,即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的,如果第一步未得到結論,那麼第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單,只用了極限存在的兩個準則之一:單調有界數列必有極限。只要知道這個準則,該問題就能輕鬆解決,因為對於該題中的數列來説,“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題並不是很多,更多的是要用到第二步。2
第二步:藉助幾何意義尋求證明思路。一個證明題,大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的,當然最為基礎的是要正確理解題目中文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關於中值定理的證明題,可以在直角座標系中畫出滿足題設條件的函數草圖,再聯繫結論能夠發現:兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點,那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題:兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點,兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關於零點存在定理的證明題,只要在直角座標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在[0,1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點,這就是所證結論,重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關係恰好相反,也就是差函數在兩個端點的值是異號的,零點存在定理保證了區間內有零點,這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話,轉第三步。+ L, B
第三步:逆推。從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題,該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題:即從結論出發構造函數,利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需藉助導數符號與單調性之間的關係,正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性,非正常情況卻出現的更多(這裏所舉出的例子就屬非正常情況),這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性,再用一階導的符號判定原來函數的單調性,從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。
對於那些經常使用如上方法的同學來説,利用三步走就能輕鬆收穫數學證明的分數,但對於從心理上就不自信能解決證明題的同學來説,卻常常輕易丟失,後一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心,以防止分數的白白流失。
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