名校奧數真題集錦

1,(人大附會考題）

ABCD是一個邊長為6米的正方形模擬跑道，甲玩具車從A出發順時針行進，速度是每秒5釐米，乙玩具車從CD的中點出發逆時針行進，結果兩車第二次相遇恰好是在B點，求乙車每秒走多少釐米?

2,（清華附會考題）

已知甲車速度為每小時90千米，乙車速度為每小時60千米，甲乙兩車分別從A,B兩地同時出發相向而行，在途徑C地時乙車比甲車早到10分鐘；第二天甲乙分別從B,A兩地出發同時返回原來出發地，在途徑C地時甲車比乙車早到1個半小時，那麼AB距離時多少？

3 （十一中學考題）

甲、乙、丙三人步行的速度分別是：每分鐘甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙從某長街的西頭、乙從該長街的東頭同時出發相向而行，甲、乙相遇後恰好4分鐘乙、丙相遇，那麼這條長街的長度是?米.

4 （西城實驗考題）

甲乙兩人在A、B兩地間往返散步，甲從A、乙從B同時出發；第一次相遇點距B處60 米。當乙從A處返回時走了lO米第二次與甲相遇。A、B相距多少米?

5 (首師大附考題)

甲，乙兩人在一條長100米的直路上來回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時分別從直路的兩端出發，當他們跑了10分鐘後，共相遇多少次？

6 （清華附會考題）

從一個長為8釐米，寬為7釐米，高為6釐米的長方體中截下一個最大的正方體，剩下的幾何體的表面積是_________平方釐米.

7 （三帆中學考試題）

有一個稜長為1米的立方體，沿長、寬、高分別切二刀、三刀、四刀後，成為60個小長方體這60個小長方體的表面積總和是______平方米

8 (首師附會考題)

一千個體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個邊長為10釐米的大正方體，大正方體表面塗油漆後再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆塗過的數目是多少個？

9 （清華附會考題）

大貨車和小轎車從同一地點出發沿同一公路行駛，大貨車先走1.5小時，小轎車出發後4小時後追上了大貨車.如果小轎車每小時多行5千米，那麼出發後3小時就追上了大貨車.問：小轎車實際上每小時行多少千米？

10 （西城實驗考題）

小強騎自行車從家到學校去，平常只用20分鐘。由於途中有2千米正在修路，只好推車步行，步行速度只有騎車的1/3，結果用了36分鐘才到學校。小強家到學校有多少千米?

11 （101中學考題）

小靈通和爺爺同時從這裏出發回家，小靈通步行回去，爺爺在前4/7 的路程中乘車，車速是小靈通步行速度的10倍．其餘路程爺爺走回去，爺爺步行的速度只有小靈通步行速度的一半，您猜一猜咱們爺孫倆誰先到家？

12 （三帆中學考題）

客車和貨車同時從甲、乙兩城之間的中點向相反的方向相反的方向行駛，3小時後，客車到達甲城，貨車離乙城還有30千米．已知貨車的速度是客車的 3/4，甲、乙兩城相距多少千米？

13 (人大附會考題)

小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天從家到學校都是步行。有一天由於晚出發10分鐘，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，這樣與平時到達學校的時間一樣。那麼小明每天步行上學需要時間多少分鐘？

14 （清華附會考題）

如果將八個數14，30，33，35，39，75，143，169平均分成兩組，使得這兩組數的乘積相等，那麼分

組的情況是什麼？

15 （三帆中學考題）

觀察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 這五道算式，找出規律，

然後填寫2001 ＋（ ）＝2002

16 （06年東城二會考題）

在2、3兩數之間,第一次寫上5,第二次在2、5和5、3之間分別寫上7、8(如下所示),每次都在已寫上的兩個相鄰數之間寫上這兩個相鄰數之和.這樣的過程共重複了六次,問所有數之和是多少?

17 (人大附會考題)

請你從01、02、03、…、98、99中選取一些數，使得對於任何由0～9當中的某些數字組成的無窮長的一串數當中，都有某兩個相鄰的數字，是你所選出的那些數中當中的一個。為了達到這些目的。

(1)請你説明：11這個數必須選出來；

(2)請你説明：37和73這兩個數當中至少要選出一個；

(3)你能選出55個數滿足要求嗎？

預測題1

如數表：

第1行 1 2 3 … 14 15

第2行 30 29 28 … 17 16

第3行 31 32 33 … 44 45

…… … … … … … …

第n行 …………A………………

第n＋1行 …………B………………

第n行有一個數A，它的下一行（第n＋1行）有一個數B，且A和B在同一豎列。如果A+B＝391，那麼n=_______。

【來源】1995年國小數學奧林匹克初賽A卷第7題、B卷第9題

預測題2

在環形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次,問兩人各跑一圈需要幾分鐘？

預測題3

小馬虎上學忘了帶書包，爸爸發現後立即騎車去追，把書包交給他後立即返回家。小馬虎接到書包後又走了10分鐘到達學校，這時爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小馬虎速度的4倍，那麼小馬虎從家到學校共用多少時間？

1,(人大附會考題）

【解】兩車第2次相遇的時候，甲走的距離為6×5=30米，乙走的距離為6×5+3=33米

所以兩車速度比為10：11。因為甲每秒走5釐米，所以乙每秒走5.5釐米。

2,（清華附會考題）

【解】：畫圖可知某一個人到C點時間內，第一次甲走的和第二次甲走的路程和為一個全程還差90×10/60=15千米，第一次乙走的和第二次乙走的路程和為一個全程還差60×1.5=90千米。而速度比為3：2；這樣我們可以知道甲走的路程就是：（90-15）÷（3-2）×3=215,所以全程就是215+15=230千米。

3 （十一中學考題）

【解】：甲、乙相遇後4分鐘乙、丙相遇，説明甲、乙相遇時乙、丙還差4分鐘的路程，即還差4×（75+60）=540米；而這540米也是甲、乙相遇時間裏甲、丙的路程差，所以甲、乙相遇=540÷（90-60）=18分鐘，所以長街長=18×（90+75）=2970米。

4 （西城實驗考題）

【解】：“第一次相遇點距B處60 米”意味着乙走了60米和甲相遇，根據總結，兩次相遇兩人總共走了3個全程，一個全程裏乙走了60，則三個全程裏乙走了3×60=180米，第二次相遇是距A地10米。畫圖我們可以發現乙走的路程是一個全程多了10米，所以A、B相距=180-10=170米。

5 (首師大附考題)

【解】10分鐘兩人共跑了（3＋2）×60×10=3000 米 3000÷100=30個全程。

我們知道兩人同時從兩地相向而行，他們總是在奇數個全程時相遇（不包括追上）1、3、5、7。。。29共15次。

6 （清華附會考題）

【解】最大正方體的邊長為6，這樣剩下表面積就是少了兩個面積為6×6的，所以現在的面積為(8×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220.

7 （三帆中學考試題）

【解】原正方體表面積：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），每切一次增加2個面：2平方米。所以表面積： 6＋2×9＝24（平方米）．

8 (首師附會考題)

【解】共有10×10×10＝1000個小正方體，其中沒有塗色的為(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512個，所以至少有一面被油漆漆過的小正方體為1000－512＝488個。

9 （清華附會考題）

【解】根據追及問題的總結可知：4速度差=1.5大貨車；3（速度差+5）=1.5大貨車，所以速度差=15，所以大貨車的速度為60千米每小時，所以小轎車速度=75千米每小時。

10 （西城實驗考題）

【解】小強比平時多用了16分鐘，步行速度：騎車速度=1/3：1=1：3，那麼在2千米中，時間比=3：1，所以步行多用了2份時間，所以1份就是16÷2=8分鐘，那麼原來走2千米騎車8分鐘，所以20分鐘的`騎車路程就是家到學校的路程=2×20÷8=5千米。

11 （101中學考題）

【解】不妨設爺爺步行的速度為“1”，則小靈通步行的速度為“2”，車速則為“20”．到家需走的路程為“1”．有小靈通到家所需時間為1÷2＝0.5，爺爺到家所需時間為4/7÷20+3/7÷1＝16/35．16/35＜0.5，所以爺爺先到家

12 （三帆中學考題）

【解】客車速度：貨車速度=4：3，那麼同樣時間裏路程比=4：3，也就是説客車比貨車多行了1份，多30千米；所以客車走了30×4=120千米，所以兩城相距120×2=240千米。

13 (人大附會考題)

【解】後一半路程和原來的時間相等，這樣前面一半的路程中現在的速度比=3：1，

所以時間比=1：3，也就是節省了2份時間就是10分鐘，所以原來走路的時間就是10÷2×3=15分鐘，所以總共是30分鐘。

14 （清華附會考題）

【解】分解質因數，找出質因數再分開，所以分組為33、35、30、169和14、39、75、143。

15 （三帆中學考題）

【解】上面的規律是：右邊的數和左邊第一個數的差正好是奇數數列3、5、7、9、11……，所以下面括號中填的數字為奇數列中的第2001個，即4003。

16 (東城二會考題）

【解】：第一次寫後和增加5，第二次寫後的和增加15，第三次寫後和增加45，第四次寫後和增加135，第五次寫後和增加405，……

它們的差依次為5、15、45、135、405……為等比數列，公比為3。

它們的和為5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次後，和為1820+2+3＝1825。

17 (人大附會考題)

【解】 (1)，11，22，33，…99，這就9個數都是必選的，因為如果組成這個無窮長數的就是1~9某個單一的數比如111…11…，只出現11，因此11必選，同理要求前述9個數必選。

(2)，比如這個數3737…37…，同時出現且只出現37和37，這就要求37和73必須選出一個來。

(3)，同37的例子，

01和10必選其一，02和20必選其一，……09和90必選其一，選出9個

12和21必選其一，13和31必選其一，……19和91必選其一，選出8個。

23和32必選其一，24和42必選其一，……29和92必選其一，選出7個。

………

89和98必選其一，選出1個。

如果我們只選兩個中的小數這樣將會選出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個。再加上11~99這9個數就是54個。

預測題1

解】相鄰兩行，同一列的兩個數的和都等於第一列的兩個數的和，而從第1行開始，相鄰兩行第一列的兩個數的和依次是

31，61，91，121，…。（*）

每項比前一項多30，因此391是（*）中的第(391—31)÷30＋1＝13個數，即n＝13.