三數學第一輪複習策略:複習方法和技巧總結
一、注重對概念的理解
函數部分的一個鮮明特點是概念多,對概念理解的要求高。而在實際的複習中,學生對此可能不是很重視,其實,概念能突出本質,產生解決問題的方法。對概念不重視,題目一定也做不好。
就大學聯考而言,直接針對函數概念的考題也不少,例如05年上海春季大學聯考數學卷的第16題就是考察學生是否理解函數最大值的概念。在高中數學的代數證明問題中,函數問題是最多最突出的一個部分,如函數的單調性、奇偶性、週期性的證明等等,而用定義法判斷和證明這些性質往往是最直接有效的方法。上海卷連續兩年都考查了這方面的內容與方法,如06年文、理科的第22題,考查的是函數的單調性、值域與最值,07年的第19題,文科考察的是函數奇偶性的判斷與證明,理科在此基礎上還考察了函數單調性。
二、構建知識、方法與技能網
當問到學生類似於“函數主要有哪些內容?”等問題時,學生的回答大多是一些零散的數學名詞或局部的細節,這説明學生對知識還缺少整體把握。所以複習的首要任務是立足於教材,將高中所學的函數知識進行系統梳理,用簡明的圖表形式把基礎知識進行有機的串聯,以便於找出自己的缺漏,明確複習的重點,合理安排複習計劃。
就函數部分而言,大體分為三個層次的內容:
1、函數的概念與基本性質,主要有函數的概念與運算、單調性、奇偶性與對稱性、週期性、最值與值域、圖像等。
2、一些簡單函數的研究,主要是二次函數、冪、指、對函數等。
3、函數綜合與實際應用問題,如函數-方程-不等式的關係與應用,用函數思想解決的實際應用問題等。
當然,在這個過程中也發現,學生梳理知識的過程過於被動、機械,只是將課本或是參考書中的內容抄在本子上,缺少了自己的認識與理解,將知識與方法割裂開來,整理的東西成了空中樓閣,自然沒什麼用。這時,就需對每一個內容細化,問問自己複習這個內容時需要解決好哪些問題,以此為載體來提煉與總結基本方法。
以函數的單調性為例,可以從哪些問題入手複習呢?問題一:什麼是函數的單調性?可以藉助一些概念的辨析題來幫助理解。問題二:如何判斷和證明一個函數在某個區間上的單調性?對這個問題的解決,需要的知識基礎有:理解函數單調性的概念,熟知所學習過的各種基本函數(如一次函數、二次函數、反比例函數、冪、指、對函數等)的單調性,和函數(如y=x+ax(a≠0))以及簡單的複合函數單調性等。基本的方法主要是利用單調性的定義、以及不等式的性質進行判斷和證明。問題三:函數的單調性有哪些簡單應用?主要的應用是求函數的`最值,此外還可能涉及到不等式、比較大小等問題。最後還可以進一步總結易錯、易漏點,如討論函數的單調性必須在其定義域內進行,兩個單調函數的積函數的單調性不確定等。
三、抓典型問題強化訓練
高三學生在複習中大都願意花大量時間做題,追求解題技巧,雖然這樣做有一定的作用,但題目做得太多太雜,未必有利於基本方法的落實。其實對於每一個知識點都有典型問題,抓住它們進行訓練,將同一知識,同一方法的問題集中在一起練習,並努力使自己表達規範、正確,相信能達到更高效的複習效果。
還是以函數的單調性的判斷與證明為例,一般也就兩類典型問題。第一是正確判斷與證明某個函數的單調性,寫出單調區間,要注意函數的各種形式,如分式的(如y=x+32x+1),和函數(如y=x+(a≠0)),簡單的複合函數(如y=log2(x2-2x-3)),以及帶有根式和絕對值的等等。第二是它的逆問題,知道函數在某個區間上的單調性如何求字母參數的取值範圍,如函數y=ax2+x+2在區間[5,10]上遞增,求實數a的取值範圍等。
另一方面,可以在同一個問題的背景下,自己做一些小小的變化與發展,從中做一些深入的探究。例如將函數y=log2(x2-2x-3)變化為y=loga(x2-2x-3)單調性會怎樣變化?如果變化為y=log2(ax2-2x-3)情況又如何?再複雜一些,如變化為y=loga(x2-2x-a)呢?反之,如果函數y=log2(ax2-2x-3)在區間(-∞,1)上單調遞減,a的取值範圍是什麼?在此基礎上再想一想還能提出什麼問題來研究呢?例如函數y=log2(ax2-2x-3)的值域為R,a的取值範圍是什麼?函數y=log2(ax2-2x-3)是否可以有最大值,如果有,a的取值範圍是什麼?對自己提出的問題加以解決,能使自己的複習更有針對性,真正掌握解題的規律和方法,並幫助自己跳出盲目的題海戰。
總之,在複習中把握函數的基本概念,將知識、方法和技能有機地整合起來,建立一個立體網絡,就一定能達到良好的複習效果。
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