2018屆石景山高三理科數學模擬試卷及答案

數學是大學聯考的必考科目之一，在大學聯考備考期間，多做一些大學聯考數學模擬試卷將對我們大學聯考數學很有幫助，以下是本站小編為你整理的2018屆石景山高三理科數學模擬試卷，希望能幫到你。

　　2018屆石景山高三理科數學模擬試卷題目

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分.

1.已知集合 ， ，則

A. B. C. D.

2.複數 等於

A. B. C. D.

3.某程序框圖如圖所示，若該程序運行後輸出 的值是 ，

則輸入的整數 的可能值為

A.5 B.6 C.8 D.15

4.已知直線 ,且 於 , 為座標原點,

則點 的軌跡方程為

A. B. C. D.

5.函數 在點 處的切線方程是

A. B. C. D.

6.“等式 成立”是“ 成等差數列”的

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件

7.在各項均為正數的等比數列 中， ， 成等差數列， 是數列 的前 項的和，則

A.1008 B.2016 C.2032 D.4032

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是

A. B.

C. D.

9.半徑為 的球面上有 四點， 兩兩互相垂直，則 面積之和的最大值為

A.8 B.16 C.32 D.64

10.設等差數列 的前 項和為 ，若 ，則 中最大的是

A. B. C. D.

11.已知函數 (其中 )， ，且函數 的兩個極值點為 .設 ，則

A. B.

C. D.

12.設雙曲線 的右焦點為 ，過點 作 軸的垂線交兩漸近線於點 兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為 ，設 為座標原點，若 ， ，則雙曲線的離心率為(　　)

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.若 是數列 的前 項的和，且 ，則數列 的最大項的值為_________ __.

14.設 ,則二項式 展開式中的第 項為___________.

15. 已知正方形 的邊長為 ，點 為 的中點.以 為圓心， 為半徑，作弧交 於點 ，若 為劣弧 上的動點，則 的最小值為___________.

16.已知函數 在 上單調遞增，則實數 的取值範圍_________.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字説明，證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分12分)

已知函數

(I)求函數 的最小正週期;

(Ⅱ)求使函數 取得最大值的 的集合.

18.(本小題滿分12分)

如圖，在四稜錐 中，底面 是菱形， ，

點 分別為 和 中點.

(Ⅰ)求證：直線 ;

(Ⅱ)求 與平面 所成角的正弦值.

19.(本小題滿分12分)

某網站用“10分制”調查一社區人們的治安滿意度.現從調查人羣中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的治安滿意度分數(以小數點前的一位數字為莖，小數點後的一位數字為葉).

(I)若治安滿意度不低於 分，則稱該人的治安滿意度為“極安全”，求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極安全”的概率;

(II)以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區(人數很多)任選3人，記 表示抽到“極安全”的人數，求 的分佈列及數學期望.

20.(本小題滿分12分)

如圖，已知直線 過橢圓 的右焦點 ，拋物線： 的焦點為橢 圓 的上頂點，且直線 交橢圓 於 兩點，點 在直線 上的射影依次為點 .

(Ⅰ)求橢圓 的`方程;

(Ⅱ)若直線 交 軸於點 ，且 ，當 變化時，探求 的值是否為定值?若是，求出 的值，否則，説明理由.

21.(本小題滿分12分)

設 和 是函數 的兩個極值點,其中

, .

(Ⅰ) 求 的取值範圍;

(Ⅱ) 若 ,求 的最大值.

22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖所示，已知⊙ 的半徑長為4，兩條弦 相交於點 ，若 ， ， 為 的中點， .

(Ⅰ) 求證： 平分 ;

(Ⅱ)求 的度數.

23.(本小題滿分10分)選修4-4：座標系與參數方程

已知曲線 的參數方程為 (其中 為參數)，以座標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線 的極座標方程為 .

(Ⅰ) 分別寫出曲線 與曲線 的普通方程;

(Ⅱ)若曲線 與曲線 交於 兩點，求線段 的長.

24.(本小題滿分10分) 選修4-5：不等式選講

已知函數 .

(Ⅰ)求不等式 的解集;

(Ⅱ)若函數 的最小值為 ，且 ，求 的最小值.

　　2018屆石景山高三理科數學模擬試卷答案

一、選擇題:本大題共 12小題,每小題5分,滿分60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.

1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.12 14. 15. 16.[﹣1，1]

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字説明，證明過程或演算步驟.

17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x-π6)+1-cos2(x-π12)

= 2[32sin2(x-π12)-12 cos2(x-π12)]+ 1

=2sin[2(x-π12)-π6]+1

= 2sin(2x-π3) +1

∴ T=2π2 =π

(Ⅱ)當f(x) 取最大值時, sin(2x-π3)=1,

有 2x-π3 =2kπ+π2

即x=kπ+ 5π12 (k∈Z)

∴所求x的集合為{x∈R|x= kπ+ 5π12 , (k∈ Z)}.

18.解：(Ⅰ)證明：作FM∥CD交PC於M.

∵點F為PD中點，∴ . …………2分

∵ ，∴ ，

∴AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM， ……4分

∵ ，

∴直線AF 平面PEC. 　　　　 　……………6分

(Ⅱ) ， .

如圖所示，建立座標系，則

P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0),

A( ， ，0)， ，

∴ ， . …8分

設平面PAB的一個法向量為 .

∵ ， ，∴ ，取 ，則 ，

∴平面PAB的一個法向量為 . …………………………10分

設向量 ∵ ，

∴ ，

∴P C平面PAB所成角的正弦值為 .　 　.…………………………12分

19.

2 0.解：(Ⅰ)易知橢圓右焦點F(1，0)，∴c=1，

拋物線 的焦點座標 ，∴ ∴b2=3

∴a2=b2+c2=4∴橢圓C的方程

(Ⅱ)易知m≠0，且l與y軸交於 ，

設直線l交橢圓於A(x1，y 1)，B(x2，y2)

由

∴△=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0

∴

又由

∴

同理

∴

∵

∴

所以，當m變化時，λ1+λ2的值為定值 ;

(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(4，y1)，E(4，y2)

方法1)∵

當 時， =

=

∴點 在直線lAE上，

同理可證，點 也在直線lBD上;

∴當m變化時，AE與BD相交於定點

方法2)∵

=

∴kEN=kAN∴A、N、E三點共線，

同理可得B、N、D也三點共線;

∴當m變化時，AE與BD相交於定點 .

解:函數 的定義域為 , .

依題意,方程 有兩個不等的正根 , (其中 ).故

,

並且 .

所以,

故 的取值範圍是

(Ⅱ)解:當 時, .若設 ,則

.

於是有

構造函數 (其中 ),則 .

所以 在 上單調遞減, .

故 的最大值是

22.(本小題滿分10分)

解：(1)由 為 的中點， 得

又

∽

又

故 平分 ………………5分

(2)連接 ，由點 是弧 的中點，則 ，

設垂足為點 ，則點 為弦 的中點，

連接 ，則 ， ，

………………10分

23.(本小題滿分10分)

解：(1)曲線 ，………………2分

曲線 ： ………………4分

(2)聯立 ，得 ，

設 ，則

於是 .

故線段 的長為 .………………10分

24.(本小題滿分10分)

解：(1)由 知 ，於是 ，解得 ，故不等式 的解集為 ;……………………3分

(2)由條件得 ，當且僅當 時，其最小值 ，即 …………………6分

又 ，…………8分

所以 ，

故 的最小值為 ，此時 .……10分

12分