2018屆贛州市大學聯考理科數學模擬試卷及答案

理科考生要想考好理科數學，就需要多做一些理科數學模擬試卷，對自己複習後的知識進行查漏補缺，這樣將對你大學聯考很有幫助，下面是小編為大家精心推薦的2018屆贛州市大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。

　　2018屆贛州市大學聯考理科數學模擬試卷題目

一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合 ， ，則 ( )

A. B. C. D.

2.已知 為虛數單位， ，則複數 的共軛複數為( )

A. B. C. D.

3.總體由編號為01，02，03，…，49，50的50個個體組成，利用隨機數表(以下選取了隨機數表中的第1行和第2行)選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第9列和第10列數字開始由左向右讀取，則選出來的4個個體的編號為( )

A.05 B.09 C.11 D.20

4.已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則 的離心率為( )

A. B. 或 C.2 D.

5.執行下圖程序框圖，若輸出 ，則輸入的 為( )

A. 或 或1 B. C. 或1 D.1

6.數列 是首項 ，對於任意 ，有 ，則 前5項和 ( )

A.121 B.25

C.31 D.35

7.某三稜錐的三視圖如圖所示，則其體積為( )

A.4 B.8 C. D.

8.函數 (其中 為自然對數的底數)的圖象大致為( )

A B C D

9.若 ，則 ( )

A.1 B.513 C.512 D.511

10.函數 ( )在 內的值域為 ，則 的取值範圍是( )

A. B. C. D.

11.拋物線 的焦點為 ， 為準線上一點， 為 軸上一點， 為直角，若線段 的中點 在拋物線 上，則 的面積為( )

A. B. C. D.

12.已知函數 有兩個極值點 ，且 ，若 ，函數 ，則 ( )

A.恰有一個零點 B.恰有兩個零點

C.恰有三個零點 D.至多兩個零點

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.已知向量 ， ，則 在 方向上的投影為 .

14.直線 的三個頂點都在球 的球面上， ，若三稜錐 的體積為2，則該球的表面積為 .

15.已知變量 滿足約束條件 ，目標函數 的最小值為 ，則實數 .

16.數列 的前 項和為 ，若 ，則 .

三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)

17.在 中，角 ， ， 所對應的邊分別為 ， ， ， .

(1)求證： ;

(2)若 ， 為鋭角，求 的取值範圍.

18.某學校用簡單隨機抽樣方法抽取了100名同學，對其日均課外閲讀時間(單位：分鐘)進行調查，結果如下：

男同學人數 7 11 15 12 2 1

女同學人數 8 9 17 13 3 2

若將日均課外閲讀時間不低於60分鐘的學生稱為“讀書迷”.

(1)將頻率視為概率，估計該校4000名學生中“讀書迷”有多少人?

(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機抽取4位同學參加讀書日宣傳活動.

(i)求抽取的4位同學中既有男同學又有女同學的概率;

(ii)記抽取的“讀書迷”中男生人數為 ，求 的分佈列和數學期望.

19.如圖，平行四邊形 中， ， ， ， ， 分別為 ， 的中點，

平面 .

(1)求證： 平面 ;

(2)求直線 與平面 所成角的正弦值.

20.已知橢圓 經過點 ，且離心率為 .

(1)求橢圓 的方程;

(2)直線 與圓 相切於點 ，且與橢圓 相交於不同的兩點 ， ，求 的最大值.

21.已知函數 ， .

(1)討論函數 的單調性;

(2)若函數 在區間 有唯一零點 ，證明： .

22.點 是曲線 上的動點，以座標原點 為極點， 軸的正半軸為極軸建立極座標系，以極點 為中心，將點 逆時針旋轉 得到點 ，設點 的軌跡方程為曲線 .

(1)求曲線 ， 的極座標方程;

(2)射線 與曲線 ， 分別交於 ， 兩點，定點 ，求 的面積.

23.已知函數 .

(1)若 ，解不等式 ;

(2)當 時， ，求滿足 的 的取值範圍.

　　2018屆贛州市大學聯考理科數學模擬試卷答案

一.選擇題：

BACCD DBDAC BA

二.填空題：

(13) (14) (15) (16)

三.解答題：

(17)解：

(Ⅰ)由 根據正弦定理得 ，

即 ，

，

，

得 .

(Ⅱ)由余弦定理得 ，

由 知 ，

由 為鋭角，得 ，所以 .

從而有 .

所以 的取值範圍是 .

(18)解：

(Ⅰ)設該校4000名學生中“讀書迷”有 人，則 ，解得 .

所以該校4000名學生中“讀書迷”約有320人.

(Ⅱ)(ⅰ)抽取的4名同學既有男同學，又有女同學的概率：

.

(ⅱ) 可取0，1，2，3.

， ，

， ，

的分佈列為：

0 1 2 3

.

(19)解：

(1)連接 ，因為 平面 ， 平面 ，所以 ，

在平行四邊形 中， ， ，

所以 ， ，

從而有 ，

所以 ，

又因為 ，

所以 平面 ， 平面 ，

從而有 ，

又因為 ， ，

所以 平面 .

(2)以 為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系，

則 ， ， ，

因為 平面 ，所以 ，

又因為 為 中點，所以 ，

所以 ， ，

， ， ，

設平面 的法向量為 ，

由 ， 得， ，

令 ，得 .

設直線 與平面 所成的'角為 ，則：

，

即直線 與平面 所成角的正弦值為 .

(20)解：

(Ⅰ)由已知可得 ， ，解得 ， ，

所以橢圓Γ的方程為 .

(Ⅱ)當直線 垂直於 軸時，由直線 與圓 ： 相切，

可知直線 的方程為 ，易求 .

當直線 不垂直於 軸時，設直線 的方程為 ，

由直線 與圓 相切，得 ，即 ，

將 代入 ，整理得 ，

設 ， ，則 ， ，

，

又因為 ，

所以 ，

當且僅當 ，即 時等號成立，

綜上所述， 的最大值為2.

(21)解：

(Ⅰ) ， ，

令 ， ，

若 ，即 ，則 ，

當 時， ， 單調遞增，

若 ，即 ，則 ，僅當 時，等號成立，

當 時， ， 單調遞增.

若 ，即 ，則 有兩個零點 ， ，

由 ， 得 ，

當 時， ， ， 單調遞增;

當 時， ， ， 單調遞減;

當 時， ， ， 單調遞增.

綜上所述，

當 時， 在 上單調遞增;

當 時， 在 和 上單調遞增，

在 上單調遞減.

(Ⅱ)由(1)及 可知：僅當極大值等於零，即 時，符合要求.

此時， 就是函數 在區間 的唯一零點 .

所以 ，從而有 ，

又因為 ，所以 ，

令 ，則 ，

設 ，則 ，

再由(1)知： ， ， 單調遞減，

又因為 ， ，

所以 ，即 .

(22)解：

(Ⅰ)曲線 的極座標方程為 .

設 ，則 ，則有 .

所以，曲線 的極座標方程為 .

(Ⅱ) 到射線 的距離為 ，

，

則 .

(23)解：

(Ⅰ) ,

所以 表示數軸上的點 到 和1的距離之和，

因為 或2時 ，

依據絕對值的幾何意義可得 的解集為 .

(Ⅱ) ，

當 時， ，等號當且僅當 時成立，所以 無解;

當 時， ，

由 得 ，解得 ，又因為 ，所以 ;

當 時， ，解得 ，

綜上， 的取值範圍是 .