數數與計數二年級上冊奧數知識點

從數數與計數中，可以發現重要的算術運算定律.

例1 數一數，下面圖形中有多少個點?

解：方法1：從上到下一行一行地數，見下圖.

點的總數是：

5+5+5+5=5×4.

方法2：從左至右一列一列地數，見下圖.

點的總數是：4+4+4+4+4=4×5.

因為不論人們怎樣數，點數的多少都是一定的，不會因為數數的方法不同而變化.所以應有下列等式成立：

5×4=4×5

從這個等式中，我們不難發現這樣的事實：

兩個數相乘，乘數和被乘數互相交換，積不變.

這就是乘法交換律.

正因為這樣，在兩個數相乘時，以後我們也可以不再區分哪個是乘數，哪個是被乘數，把兩個數都叫做“因數”，因此，乘法交換律也可以換個説法：

兩個數相乘，交換因數的位置，積不變.

如果用字母a、b表示兩個因數，那麼乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a.

方法3：分成兩塊數，見右圖.

前一塊4行，每行3個點，共3×4個點.

後一塊4行，每行2個點，共2×4個點.

兩塊的總點數=3×4+2×4.

因為不論人們怎樣數，原圖中總的點數的多少都是一定的，不會因為數數的方法不同而變化.所以應有下列等式成立：

3×4+2×4=5×4.

仔細觀察圖和等式，不難發現其中三個數的關係：

3+2=5

所以上面的等式可以寫成：

3×4+2×4=(3+2)×4

也可以把這個等式調過頭來寫成：

(3+2)×4=3×4+2×4.

這就是乘法對加法的分配律.

如果用字母a、b、c代表三個數，那麼乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式：

(a+b)×c=a×c+b×c

分配律的意思是説：兩個數相加之和再乘以第三數的積等於第一個數與第三個數的積加上第二個數與第三個數的積之和.

進一步再看，分配律是否也適用於括號中是減法運算的情況呢?請看下面的例子：

計算(3-2)×4和3×4-2×4.

解：(3-2)×4=1×4=4

3×4-2×4=12-8=4.

兩式的計算結果都是4，從而可知：

(3-2)×4=3×4-2×4

這就是説，這個分配律也適用於一個數與另一個數的差與第三個數相乘的情況.

如果用字母a、b、c(假設a>b)表示三個數，那麼上述事實可以表示如下：(a-b)×c=a×c-b×c.

正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，於是，通常人們就簡稱它為乘法分配律.

例2 數一數，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的?

解：方法1：從上至下一層一層地數，見上右圖.

第一層 4×2個

第二層 4×2個

第三層 4×2個

三層小長方體的總個數(4×2)×3個.

方法2：從左至右一排一排地數，見下圖.

第一排 2×3個

第二排 2×3個

第三排 2×3個

第四排 2×3個

四排小長方體的總個數為(2×3)×4.

若把括號中的2×3看成是一個因數，就可以運用乘法交換律，寫成下面的形式：4×(2×3).

因為不論人們怎樣數，原圖中小長方體的總個數是一定的，不會因為數數的方法不同而變化.把兩種方法連起來看，應有下列等式成立：(4×2)×3=4×(2×3).

這就是説在三個數相乘的運算中，改變相乘的順序，所得的積相同.

或是説，三個數相乘，先把前兩個數相乘再乘以第三個數，或者先把後兩個數相乘，再去乘第一個數，積不變，這就是乘法結合律.

如果用字母a、b、c表示三個數，那麼乘法結合律可以表示如下：(a×b)×c=a×(b×c).

巧妙地運用乘法交換律、分配律和結合律，可使得運算變得簡潔、迅速.

從數數與計數中，還可以發現巧妙的計算公式.

例3 數一數，下圖中有多少個點?

解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖.

總點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

方法2：補上一個同樣的三角形點羣(但要上下顛倒放置)和原有的那個三角形點羣共同拼成一個長方形點羣，則顯然有下式成立(見下圖)：

三角形點數=長方形點數÷2

因三角形點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而長方形點數=10×9=(1+9)×9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=(1+9)×9÷2=45.

進一步把兩種方法聯繫起來看：

方法1是老老實實地直接數數.

方法2可以叫做“拼補法”.經拼補後，三角形點羣變成了長方形點羣，而長方形點羣的點數就可以用乘法算式計算出來了.

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=(1+9)×9÷2.

這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較複雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現了.

再進一步，若脱離開圖形(點羣)的背景，純粹從數的方面找規律，不難發現下述事實：

這個等式的左邊就是從1開始的連續自然數相加之和，第一個數1又叫首項，最後一個數9叫末項，共有9個數又可以説成共有9項，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：

從1開始的連續自然數前幾項的和等於首項加末項之和乘以項數的積的一半.或是寫成下面的.文字式：

和=(首項+末項)×項數÷2

這個文字式通常又叫做等差數列求和公式.

例4 數一數，下圖中有多少個點?

解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖：

總點數=2+3+4+5+6=20.

方法2：補上一個同樣的梯形點羣，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個長方形點羣如下圖所示：

由圖可見，有下列等式成立：

梯形點數=長方形點數÷2.

因為梯形點數=2+3+4+5+6

而長方形點數=8×5=(2+6)×5

代入上面的文字式，可得：

2+3+4+5+6=(2+6)×5÷2

與例1類似，我們用拼補法得到了一個計算梯形點羣總點數的較為簡單的公式.

再進一步，若脱離開圖形(點羣)的背景純粹從數的方面找找規律，不難發現下述事實：

這個等式的左邊就是一個等差數列的求和式，它的首項是2，末項是6，公差是1，項數是5.這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述：

等差數列前幾項的和等於首項加末項之和乘以項數的積的一半.

寫成下面較簡化的文字式：

和=(首項+末項)×項數÷2

這就是等差數列的求和公式.

例5 數一數，下圖中有多少個小三角形?

解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖.

小三角形總數=1+3+5+7=16個.

方法2：補上一個同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示.

顯然平行四邊形包含的小三角形個數等於原圖中的大三角形所包含的小三角形個數的兩倍，即下式成立.

大三角形中所含=平行四邊形所含÷2

平行四邊形所含=8×4=(1+7)×4(個)

大三角形中所含=1+3+5+7=16

代入上述文字式：

1+3+5+7=(1+7)×4÷2

這樣，我們就得到了一個公式：

小三角形個數=(第一層的數+最末層的數)×層數÷2

脱離開圖形的背景，純粹從數的方面進行考察，找找規律，不難發現下述事實：

等式左邊就表示一個等差數列的前幾項的和，它的首項是1，末項是7，公差是2，項數是4.這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述：

等差數列前幾項的和等於首項加末項之和乘以項數之積的一半.

寫成較簡單的文字式：

和=(首項+末項)×項數÷2.

二年級奧數上冊：第二講 數數與計數

單元知識點：

1. 掌握至少兩種多個相同加數相加的方法；體會與乘法關係，根據加法列出乘法算式。

2. 乘法的意義、書寫、讀法。

3. 運用乘法解決生活中的實際問題。

課時知識點：

第一節：數一數

會用兩種不同的方法（一排一排或一列一列地）數方陣排列的物體個數，相應列出兩個不同的連加算式。知道用乘法算式表示相同數連加比較簡便，體會學習乘法的必要性。

第二節：兒童樂園

1．結合解決問題，經歷把相同加數的連加算式抽象為乘法算式的過程。

2．能把相同加數的連加算式改寫成乘法算式並理解意義、掌握各部分名稱及讀法，並應用加法計算簡單的乘法算式的結果。

第三節：有幾塊積木

會用兩種不同的方法數排列的物體個數，列出同一個乘法算式。

第四節：動物聚會

會運用乘法解決生活中簡單的實際問題，體會乘法運算意義。