2018屆河東區大學聯考數學二模擬試卷及答案
要想大學聯考數學考的好,多做大學聯考數學模擬試卷是必要的,以下是本站小編為你整理的2018屆河東區大學聯考數學二模擬試卷,希望能幫到你。
2018屆河東區大學聯考數學二模擬試卷題目一、選擇題:本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 已知複數 , ,若 為實數,則實數 的值是( )
A. B.-1 C. D.1
2. 設集合 , ,則 ( )
A.(0,1) B.(-1,2) C. D.
3. 已知函數 ( ).若 ,則 ( )
A. B. C.2 D. 1
4. 若 , ,直線 : ,圓 : .命題 :直線 與圓 相交;命題 : .則 是 的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件
5. 為豐富少兒文體活動,某學校從籃球,足球,排球,橄欖球中任選2種球給甲班學生使用,剩餘的2種球給乙班學生使用,則籃球和足球不在同一班的概率是( )
A. B. C. D.
6. 已知拋物線 的準線與雙曲線 相交於 , 兩點,點 為拋物線的焦點, 為直角三角形,則雙曲線的離心率為( )
A.3 B. C.2 D.
7. 若數列 , 的通項公式分別為 , ,且 ,對任意 恆成立,則實數 的取值範圍是( )
A. B.[-1,1) C.[-2,1) D.
8. 已知函數 ,若函數 恰有三個不同的零點,則實數 的取值範圍是( )
A.[-1,1) B.[-1,2) C. [-2,2) D.[0,2]
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空題(每題5分,滿分30分,將答案填在答題紙上)
9.函數 的單調遞增區間為 .
10.執行如圖所示的程序框圖,若輸入的 , 值分別為0和9,則輸出的 值為 .
11.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 .
12.已知 , ,且 ,則 的最小值是 .
13.已知 ,在函數 與 的圖象的交點中,距離最短的兩個交點的距離為 ,則 值為 .
14.如圖,已知 中,點 在線段 上,點 在線段 上,且滿足 ,若 , , ,則 的值為 .
三、解答題 (本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)
15. 已知函數 .
(Ⅰ)求函數 的最小正週期和圖象的對稱軸方程;
(Ⅱ)討論函數 在區間 上單調性求出的值域.
16. 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為 與 ,且乙投球2次均未命中的概率為 .
(Ⅰ)求乙投球的命中率 ;
(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,兩人共命中的次數記為 ,求 的`分佈列和數學期望.
17. 如圖,直三稜柱 中, , , , ,點 在線段 上.
(Ⅰ)證明 ;
(Ⅱ)若 是 中點,證明 平面 ;
(Ⅲ)當 時,求二面角 的餘弦值.
18. 已知數列 的前 項和 , 是等差數列,且 .
(Ⅰ)求數列 的通項公式;
(Ⅱ)令 ,求數列 的前 項和 .
19. 在平面直角座標系 中,橢圓 : 的離心率為 ,直線 被橢圓 截得的線段長為 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)過原點的直線與橢圓 交於 , 兩點( , 不是橢圓 的頂點),點 在橢圓 上,且 .直線 與 軸、 軸分別交於 , 兩點.設直線 , 的斜率分別為 , ,證明存在常數 使得 ,並求出 的值.
20.選修4-4:座標系與參數方程
設函數 , .
(Ⅰ)當 時,求函數 的極小值;
(Ⅱ)討論函數 零點的個數;
(Ⅲ)若對任意的 , 恆成立,求 的取值範圍.
2018屆河東區大學聯考數學二模擬試卷答案一、選擇題
1-5:ADABC 6-8:ADB
二、填空題
9. 10.3 11. 12. 13. 14.-2
三、解答題
15.解:(Ⅰ)
.
∴週期 .
由 ,得 .
∴函數圖象的對稱軸方程為 .
(Ⅱ)∵ ,∴ .
在區間 上單調遞增,在區間 上單調遞減,
當 時, 取最大值1.
∵ .
∴ , .
所以值域為 .
16.解:(Ⅰ)設“甲投球一次命中”為事件 ,“乙投球一次命中”為事件 .
由題意得
,
解得 或 (捨去),所以乙投球的命中率為 .
(Ⅱ)由題設和(Ⅰ)知 , , , .
可能的取值為0,1,2,3,故
,
0 1 2 3
所以 .
17. 解:(Ⅰ)證明:如圖,以 為原點建立空間直角座標系 .則 , , , , .
, ,
,所以 .
(Ⅱ)解法一:
設平面 的法向量 ,
由 ,
且 ,
令 得 ,
所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ;
解法二:證明:連接 ,交 於 , .
因為直三稜柱 , 是 中點,
所以側面 為矩形, 為 的中位線.
所以 ,
因為 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 ,
設 ,
因為點 在線段 上,且 ,即 .
所以 , , .
所以 , .
平面 的法向量為 .
設平面 的法向量為 ,
由 , ,得 ,
所以 , , .
設二面角 的大小為 ,
所以 .
所以二面角 的餘弦值為 .
18. 解:(Ⅰ)由題知,當 時, ;當 時, ,符合上式.
所以 .設數列 的公差 ,由 即為 ,解得 , ,所以 .
(Ⅱ) , ,則
,
,
兩式作差,得
.
所以 .
19. 解:(Ⅰ)∵ ,∴ , ,∴ .①
設直線 與橢圓 交於 , 兩點,不妨設點 為第一象限內的交點.∴ ,∴ 代入橢圓方程可得 .②
由①②知 , ,所以橢圓的方程為: .
(Ⅱ)設 ,則 ,直線 的斜率為 ,又 ,故直線 的斜率為 .設直線 的方程為 ,由題知
, 聯立 ,得 .
∴ , ,由題意知 ,
∴ ,直線 的方程為 .
令 ,得 ,即 ,可得 ,∴ ,即 .
因此存在常數 使得結論成立.
20. 解:(1)由題設,當 時, ,易得函數 的定義域為 ,
.∴當 時, , 在 上單調遞減;
∴當 時, , 在 上單調遞增;所以當 時, 取得極小值 ,所以 的極小值為2.
(2)函數 ,令 ,得 .
設 ,則 .
∴當 時, , 在(0,1)上單調遞增;
∴當 時, , 在 上單調遞減;
所以 的最大值為 ,又 ,可知:
①當 時,函數 沒有零點;
②當 時,函數 有且僅有1個零點;
③當 時,函數 有2個零點;
④當 時,函數 有且只有1個零點.
綜上所述:
當 時,函數 沒有零點;當 或 時,函數 有且僅有1個零點;當 時,函數 有2個零點.
(3)對任意 , 恆成立,等價於 恆成立. .
設 ,∴ 等價於 在 上單調遞減.
∴ 在 上恆成立,
∴ 恆成立,
∴ (對 , 僅在 時成立).
∴ 的取值範圍是 .
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