八年級數學第三單元知識點
一、軸對稱與軸對稱圖形:
1.軸對稱:把一個圖形沿着某一條直線摺疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那麼就説這兩個圖形關於這條直線對稱,兩個圖形中的對應點叫做對稱點,對應線段叫做對稱線段。
2.軸對稱圖形:如果一個圖形沿着一條直線摺疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,那麼這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸。
注意:對稱軸是直線而不是線段
3.軸對稱的性質:
(1)關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形;
(2)如果兩個圖形關於某條直線對稱,那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線;
(3)兩個圖形關於某條直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那麼交點在對稱軸上;
(4)如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。
4.線段垂直平分線:
(1)定義:垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。
(2)性質:①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;
②到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。
注意:根據線段垂直平分線的這一特性可以推出:三角形三邊的垂直平分線交於一點,並且這一點到三個頂點的距離相等。
5.角的平分線:
(1)定義:把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.
(2)性質:①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
②到一個角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.
注意:根據角平分線的性質,三角形的三個內角的平分線交於一點,並且這一點到三條邊的距離相等.
6.等腰三角形的性質與判定:
性質:
(1)對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,等腰三角形底邊上的.中線所在的直線是它的對稱軸,或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸,或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸;
(2)三線合一:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;
(3)等邊對等角:等腰三角形的兩個底角相等。
説明:等腰三角形的性質除“三線合一”外,三角形中的主要線段之間也存在着特殊的性質,如:①等腰三角形兩底角的平分線相等;②等腰三角形兩腰上的中線相等;
③等腰三角形兩腰上的高相等;④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。
判定定理:如果一個三角形的兩個角相等,那麼這兩個角所對的邊也相等(簡稱:等角對等邊)。
7.等邊三角形的性質與判定:
性質:(1)等邊三角形的三個角都相等,並且每個角都等於60°;
(2)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質,並且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸,而等腰三角形(非等邊三角形)只有一條對稱軸。
判定定理:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
説明:等邊三角形是一種特殊的三角形,容易知道等邊三角形的三條高(或三條中線、三條角平分線)都相等。
二、中心對稱與中心對稱圖形:
1.中心對稱:把一個圖形繞着某一個點旋轉180°,如果它能夠和另外一個圖形重合,那麼就説這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心,這兩個圖形中的對應點叫做關於中心的對稱點。
2.中心對稱圖形:在平面內,一個圖形繞某個點旋轉180°,如果旋轉前後的圖形互相重合,那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點叫做它的對稱中心。
3.中心對稱的性質:(1)關於中心對稱的兩個圖形是全等形;
(2)在成中心對稱的兩個圖形中,連接對稱點的線段都經過對稱中心,並且被對稱中心平分;
(3)成中心對稱的兩個圖形,對應線段平行(或在同一直線上)且相等。
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