考研高數衝刺的重要定理如何證明

考研數學，很多同學比較頭疼的就是證明題，我們在複習的時候，一定要找到重點。小編為大家精心準備了考研高數衝刺證明重要定理的祕訣，歡迎大家前來閲讀。

　　考研高數衝刺證明重要定理的方法

高數定理證明之微分中值定理:

這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0。考慮函數在一點的導數，用什麼方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎麼用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學語言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式，不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋樑。

費馬引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那麼它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區間連續”、“開區間可導”和“端值相等”，結論是在開區間存在一點(即所謂的中值)，使得函數在該點的導數為0。

該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎麼用?如何和結論建立聯繫?當然，我們現在討論該定理的證明是“馬後炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎麼去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創新，是要流芳百世的。

閒言少敍，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那麼羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發現是一致的：都是函數在一點的導數為0。話説到這，可能有同學要説：羅爾定理的證明並不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這麼簡單。起碼要説清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什麼滿足?

前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那麼“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那麼我們看看哪個條件可能和極值產生聯繫。注意到羅爾定理的第一個條件是函數在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函數有很好的性質，哪條性質和極值有聯繫呢?不難想到最值定理。

那麼最值和極值是什麼關係?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區間內部，則最值為極值;若最值均取在區間端點，則最值不為極值。那麼接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數值相等，由此推出函數在整個閉區間上的最大值和最小值相等，這意味着函數在整個區間的表達式恆為常數，那在開區間上任取一點都能使結論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙鵰的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現出來的基本思路，適用於證其它結論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形後的式子讀出是對哪個函數用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數的過程——看等號左側的式子是哪個函數求導後，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現場調查：根據這個犯罪現場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函數遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;複雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數求不定積分。

高數定理證明之求導公式:

20xx年真題考了一個證明題：證明兩個函數乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎麼用比較熟悉，而對它怎麼來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在20xx年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶着急功近利的心態只關注結論怎麼用，而不關心結論怎麼來的，那很可能從未認真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這裏給2017考研學子提個醒：要重視基礎階段的複習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。

當然，該公式的證明並不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函數在一點的導數自然用導數定義考察，可以按照導數定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前後都有聯繫，便於提公因子。之後分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。

高數定理證明之積分中值定理:

該定理條件是定積分的被積函數在積分區間(閉區間)上連續，結論可以形式地記成該定積分等於把被積函數拎到積分號外面，並把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。

若我們選擇了用連續相關定理去證，那麼到底選擇哪個定理呢?這裏有個小的技巧——看中值是位於閉區間還是開區間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位於閉區間和開區間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位於閉區間。那麼何去何從，已經不言自明瞭。

若順利選中了介值定理，那麼往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區間長度，就能達到我們的要求。當然，變形後等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區間長度後仍為一個數。這個數就相當於介值定理結論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數在閉區間連續，2.實數A位於函數在閉區間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區間上某點的函數值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數的連續性不難判斷，僅需説明定積分除以區間長度這個實數位於函數的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的範圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

高數定理證明之微積分基本定理:

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，並用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至於導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生並不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等於其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那麼我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等於f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

　　考前必看!數學二答題順序及時間安排

在考研數學中，填空題包含6道小題，每小題4分，共24分。填空題考查的知識點也是比較基礎的知識，但是主要考察考生的基本運算能力。最常用的技巧是“代入法”，考生可以把一些特殊的數字帶入的題目中去運算。填空題只是要最後的結果，不用寫出運算步驟，因此我們只要得出結果就行，不管用什麼樣的方法。因此，在做填空題時，方法和過程不重要，重要的是運算結果，要用最簡單、最有效的方法算出結果。考生在日常做題時要經常運用這些技巧，將填空題計算常用的方法技巧爛熟於心，運用起來才更加得心應手。

填空題的答案也是唯一的，做題的時候給出最後的結果就行，不需要推導過程，同樣也是答對得滿分，答錯或者不答得0分，不倒扣分。這一部分的題目一般是需要一定技巧的計算，但不會有太複雜的計算題。題目的難度與選擇題不相上下，也是適中。填空題總共有6個，一般高數4個，線代和概率各1個，主要考查的是考研數學中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性質。做這24分的題目時需要認真審題，快速計算，並且需要有融會貫通的知識作為保障。

　　考研數學模塊複習方法

▶考研數學整體解析

對於大部分考生而言，數學都是大家不得不重視的一個學科。因為對於大多數需要考三門公共課的考生來説，數學相對於另外兩門是最難學，也是最難考的。數學的滿分是150分，所以它的成績對考研總成績至關重要。根據專業的劃分，現在考研數學主要有數一、數二、數三、數農、經濟類聯考和管理類聯考六大類考卷類型，但是大部分同學是需要備考數一、數二和數三的，所以這裏我們主要分析討論這三類的不同。

從總體上來説，數一、數二、數三它們的區別主要有三個：

1.考生類別

根據研究生階段的專業知識對大家數學能力的要求，這三類針對的考生類別是不同的。其中數一是對數學要求較高的理工類的學生需要考的;數二是對於數學要求低一些的農、林、地、礦、油等專業的學生需要考的;數三主要是針對管理、經濟等方向的學生。由於經濟類專業的熱門，近幾年來學三的考生是逐年增加;整體上看，數二的人數相對來説是最少的。

2.考試範圍

對於這三類，數一和數三知識點涵蓋了高等數學、線性代數、概率論與數理統計三個學科，其中比例分別是56%、22%、22%;數二考察高等數學和線性代數兩個學科，其中比例分別是78%、22%。所以對於這三類，它們最大的區別就是對知識面的考查：數一的考點最多，基本上涵蓋了高等數學中所有的知識點;數三次之，和數一相比它不考向量代數與空間解析幾何，但是比數一和數二多了差分方程;數二的知識點是最少的，和數一相比它不考向量代數與空間解析幾何、多元函數的微積分學、無窮級數和二次型等。對於相同的考點，數一、數二、數三的要求也不盡相同，需要具體知識點具體分析。

3.試題難度

因為專業的不同，它們三個的側重點也會有所不同。理工類數學試卷對高等數學考查的要求最高，其重點是高數解題分析;經濟類數學試卷，對線性代數、概率與數理統計要求高，考生應該把離散型二維隨機變量及其分佈作為複習重點。因為這三類的考試範圍是不同的，某種程度上來説，數三比數一範圍還要廣一點，難度還要大一點;與數二相比，數三考試的範圍要更廣一些。從高等數學的角度來講，數一當然是這三類數學中最難的，但是如果從概率論與數理統計的角度來講，數三則要難一些。範圍的大小從很大程度上也決定了複習投入精力的多少，從這個角度來説的話，數一最難，其次是數三，數二是最簡單的。從歷年考試題目來看，題目的難度也符合我們前面的分析：在考試中，數一題目偏難，數二題目較數一容易，數三題目的難度不比數一簡單多少。

以上就是數一、數二、數三的主要區別。由於數學學科的特殊性，希望同學們對數學的複習一定要趁早。

▶考研數學的11大模塊如何複習

高等數學分為5大知識模塊：

1、一元微積分學;2、多元微積分學;3、曲線、曲面積分;4、無窮級數;5、微分方程。這裏面的曲線、曲面積分是數一的同學特有的，其他內容是所有考數學的同學都要考查的。

線性代數分為3大知識模塊：

1、行列式和矩陣;2、向量和線性方程組;3、特徵值、特徵向量和二次型。線性代數部分從考綱來看各個卷種的差別不大，近些年的變化也不大，是考研數學相對穩定的一部分考查內容。

概率論與數理統計分為3大知識模塊：

1、概率、概率基本性質及簡單的概型;2、隨機變量及其分佈與數字特徵;3、統計基本概念、參數估計及假設檢驗，這部分是數二的同學不要求的，而數一和數三大綱的`要求還是有些差距的，比如數一要求假設檢驗而數三不要求。

建議大家可以按下面提供的方法進行四個不同層次的歸納總結：

第一個層次是概念、性質、公式、定理及相關知識之間的聯繫、區別的歸納與總結。我們的方法是：首先按照自己認為的重要到次重要的順序進行回憶，之後比照考試大綱所規定的考試內容，看自己有哪些遺漏了，從而形成完整的知識網絡。我們還要對遺漏的知識點進行分析，要搞清楚這個知識點是由於和這個小的知識模塊關係不緊密而沒有聯繫起來，還是自己在複習過程中忽略了。

對於前一種情況大家不用放在心上，只要看一看這個知識點説的是什麼意思就可以了，比如：在我們回憶一元微積分學時，如果沒想起來曲率的概念，這關係不是很大，要知道和整個知識模塊相對遊離的知識點往往不是考研的重點，我們知道即可。可是對於那些本來很重要的知識點由於自己的忽視而沒有想起來，這時我們要高度的重視起來了，這些知識應該是自己的相對弱點和盲點，對這些知識點的複習是我們是否能考出好成績的關鍵!對這些知識點我們要想盡一切辦法去理解，去練習，直到掌握了為止!在這一層次中大家要知道，考研中的重要的考點往往是不同部分的節點，這樣的知識點可能聯繫着兩個或多個的概念，是起橋樑作用的知識。

第二個層次是對題型的歸納總結。做完第一個層次的總結，我們只是把考研要考的一些小的知識點形成了一個知識的網絡圖，但我們還不知道考研是從什麼角度，如何考查大家，這時我們要進行第二個層次的總結。我們歸納總結的方法是先根據自己看過的和做過的輔導材料憑記憶總結出若干的題型，之後比照自己所看的材料看自己總結的是否能涵蓋複習材料中大部分的例題，另外，大家還可以參照專門講題型的書，用自己總結的題型和複習材料上的進行對照，通過對照充實自己總結出來的題型。

第三個層次是對題型解法的歸納總結。有了第二個層次的歸納總結，我們對考研數學的畏懼心理都消失了，你已經知道了考研數學可能考你的方式、方法和角度了，現在要做的是對總結的題型進行解題方法的總結了。我們的方法是首先根據自己做過的一種題型的若干例題總結出典型的解題思路形成有效的解題程序和過程。對於一種題型我們可以從不同的例題中歸納出多種的方法和思路。之後，我們對照複習材料進行充實和改造自己歸納的解題思路和方法，儘可能多的把能用的思路和方法總結出來。

第四個層次是解題思路的昇華。有了第三個層次的歸納總結，我們對自己遇到的題目就心中有底了，我們已經知道，一般的題目只要按照自己總結的方法一種一種的去試，基本上能把題目做出來，只不過我們的解題的速度不快，這時侯我們需要在第三個層次的基礎上進行思路的昇華，找到最好的對付一類題型的解題方法，提高我們的解題速度!我們的方法是在自己總結的方法中找最快捷和最適合自己發揮的解題思路，之後去找些有關題型的複習材料做些比較，再看看自己的方法和這些材料的方法哪個更適合自己。