數學正弦定理證明如何證明

正弦定理該怎麼證明呢?關於它們的證明方法之怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的正弦定理證明方法內容，希望大家喜歡。

　　正弦定理證明方法方法1

用三角形外接圓

證明： 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O於D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其餘兩個等式。

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　正弦定理證明方法方法2

用直角三角形

證明：在鋭角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。

　　正弦定理證明方法方法3

用三角形面積公式

證明：在△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足為點D，作BE⊥AC垂足為點E，則CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面積公式得：AB·CD=AC·BE

即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

用餘弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得證

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

證明如下：在三角形的`外接圓裏證明會比較方便

例如，用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)

角A=角D

得到：2RsinA=BC

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

這樣就得到正弦定理了

---