2017蘭州市大學聯考數學模擬試卷及答案

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　　2017蘭州市大學聯考數學模擬試卷題目

一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合 ， ，則 ( )

A. B. C. D.

2.若複數 滿足 ，則 的實部為( )

A. B. C.1 D.

3.設向量 ， ，則“ ”是“ ”的( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

4.若等比數列 的各項都是正數，且 成等差數列，則 ( )

A. B. C. D.

5.某程序框圖如圖所示，則該程序運行後輸出的值是( )

A. 2014 B.2015 C. 2016 D.2017

6.已知 ， ， 的座標 滿足 ，則 面積的取值範圍是( )

A. B. C. D.

7.某國際會議結束後，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，後排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美俄兩國領導人也站前排並與中國領導人相鄰，如果對其他國家領導人所站位置不做要求，那麼不同的站法共有( )

A. 種 B. 種 C. 種 D. 種

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則下列説法正確的是( )

①該幾何體的體積為 ;

②該幾何體為正三稜錐;

③該幾何體的表面積為 ;

④該幾何體外接球的表面積為 .

A.①②③ B.①②④ C. ①③④ D.②③④

9.若直線 把圓 分成面積相等的兩部分，則當 取得最大值時，座標原點到直線 的距離是( )

A. 4 B. C. 2 D.

10.已知長方體 中， ， 與底面 所成的角分別為 和 ，則異面直線 和 所成角的餘弦值為( )

A. B. C. D.

11.已知 為雙曲線 的左、右焦點，以 為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為 ， 與雙曲線相交於點 ，且 ，則該雙曲線的離心率為( )

A. B.2 C. D.

12.已知 ，定義運算“ ”： ，函數 ， ，若方程 只有兩個不同實數根，則實數 的取值範圍是( )

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.若 ， ，則 .

14.觀察下列式子：1， ， ， ，…，由以上可推測出一個一般性結論：對於 ，則 .

15.已知函數：① ;② ;③ ;④ .其中，最小正週期為 且圖象關於直線 對稱的函數序號是 .

16.已知定義域為 的函數 滿足 ，當 時， ，設 在 上的最大值為 ，且數列 的前 項和為 ，則 .

三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)

17. 在 中， 的對邊分別為 ，若 .

(1)求角 ;

(2)如果 ，求 面積的最大值.

18. 現如今，“網購”一詞不再新鮮，越來越多的人已經接受並喜歡了這種購物方式，但隨之也出現了商品質量不能保證與信譽不好等問題，因此，相關管理部門制定了針對商品質量與服務的評價體系，現從評價系統中選出成功交易200例，並對其評價進行統計：對商品的好評率為0.6，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次.

(1)依據題中的數據完成下表，並通過計算説明，能否有99.9%的把握認為“商品好評與服務好評”有關;

(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平台上進行了5次購物，設對商品和服務全好評的次數為隨機變量 ，求 的分佈列(概率用算式表示)、數學期望和方差.

19. 如圖所示的空間幾何體 中，四邊形 是邊長為2的正方形， 平面 ， ， ， ， .

(1)求證：平面 平面 ;

(2)求平面 與平面 所成的鋭二面角的餘弦值.

20. 已知橢圓 的中心在座標原點，焦點在 軸上，左頂點為 ，左焦點為 ，點 在橢圓 上，直線 與橢圓 交於 兩點，直線 分別與 軸交於點 .

(1)求橢圓 的方程;

(2)以 為直徑的圓是否經過定點?若經過，求出定點的座標;若不經過，請説明理由.

21. 已知函數 在 處的切線方程為 .

(1)求實數 的值;

(2)設 ，若 ，且 對任意的 恆成立，求 的最大值.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.選修4-4：座標系與參數方程

在平面直角座標系中，已知點 ，曲線 的參數方程為 ( 為參數)，以座標原點 為極點，以 軸正半軸為極軸，建立極座標系，點 的極座標為 ，直線 的極座標方程為 ，且 過點 ;過點 與直線 平行的直線為 ， 與曲線 相交於兩點 .

(1)求曲線 上的點到直線 距離的`最小值;

(2)求 的值.

23.選修4-5：不等式選講

已知函數 .

(1)當 時，解關於 的不等式 ;

(2)若函數 存在零點，求實數 的取值範圍.

　　2017蘭州市大學聯考數學模擬試卷答案

一、選擇題

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C A B D C C D B D A A B

二、填空題

13. 14. 15. ② 16.

三、解答題

17. 解：(Ⅰ)∵ ，即

∴ 又∵ ∴

由於 為三角形內角，故

(Ⅱ)在 中，由余弦定理得 ，所以

∵ ∴ ，當且僅當 時等號成立

∴ 的面積

∴ 面積的最大值為

18. 解：(Ⅰ) 根據題中條件可得關於商品和服務的 列聯表：

對服務好評 對服務不滿意 合計

對商品好評

對商品不滿意

合計

因此，有 %的把握認為“商品好評與服務好評”有關.

(Ⅱ)由題可得，每次購物時，對商品和服務都好評的概率為

的所有可能的取值為 ，則 ～ ，

所以 ， ， ，

， ，

分佈列為：

由於 ～ ，

所以 ，

19. 解：(Ⅰ)證明：連接 交 於點 ，則

設 ， 的中點分別為 ， ，連接 ，則 ∥ ，

連接 ， ，則 ∥ 且 ，所以 ∥ ，所以 ∥

由於 平面 ，所以

所以 ， ，所以 平面

所以平面 平面

(Ⅱ)解法一：∵ ∥ ，∴ ∥

∴平面 與平面 所成的鋭二面角即為平面 與平面 所成的鋭二面角

連接 ，∵ 平面 ， ∴

∴ 為平面 與平面 所成二面角的一個平面角

∵ ， ∴

∴

即平面 與平面 所成的鋭二面角的餘弦值為

解法二：建立如圖所示空間直角座標系 ，

則 ，

依題意 為平面 的一個法向量，

設 為平面 的一個法向量，則

即 令 ，

則 ，所以

設平面 與平面 所成的鋭二面角為 ，則

即平面 與平面 所成的鋭二面角的餘弦值為

20. 解：(Ⅰ) 設橢圓 的方程為

∵橢圓的左焦點為 ， ∴ .

∵點 在橢圓 上， ∴ .

解得， ， .所以橢圓 的方程為 .

(Ⅱ)依題意點 的座標為 ，設 (不妨設 )，則

由 得

所以直線 的方程為

直線 的方程為

所以 ，

所以，

設 的中點為 ，則點 的座標為 ，則以 為直徑的圓的方程為

，即

令 得 或 ，

即以 為直徑的圓經過兩定點 ，

21. 解：(Ⅰ) ，

所以 且 ， 解得 ，

(Ⅱ)由(Ⅰ)與題意知 對任意的 恆成立，

設 ，則 ，

令 ，則 ，

所以函數 為 上的增函數.

因為 ，

所以函數 在 上有唯一零點 ，即有 成立，

所以

故當 時， ，即 ;當 時， ，即

所以函數 在 上單調遞減，在 上單調遞增

所以

所以 ，因為 ，所以 ，又因

所以 最大值為

22. 解：(Ⅰ)因為 ，且 ，所以 ，即

所以直線 的極座標方程為

所以

即直線 的直角座標方程為

設曲線 上的點到直線 距離為 ，則

所以曲線 上的點到直線 距離的最小值為

(Ⅱ)設 的方程為 ，由於 過點 ，所以 ，所以 的方程為

故 的參數方程為 ( 為參數)，曲線 的普通方程為

所以 ，即有

所以

所以

23.解：(Ⅰ)當 時，不等式為

即 或 或

解得： 或

所以所求不等式的解集為 ……………5分

(Ⅱ)函數 存在零點等價為關於 的方程 有解

因為

所以 ，即

解得

所以實數 的取值範圍是