高三數學專項練習解三角形及答案
一、選擇題
1.在△ABC中,sinA=sinB,則△ABC是()
A.直角三角形B.鋭角三角形
C.鈍角三角形D.等腰三角形
答案 D
2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,則△ABC是()
A.直角三角形B.等邊三角形
C.鈍角三角形D.等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,
tanA=tanB=tanC,A=B=C.
3.在△ABC中,sinA=34,a=10,則邊長c的取值範圍是()
A.152,+B.(10,+)
C.(0,10) D.0,403
答案 D
解析 ∵csinC=asinA=403,c=403sinC.
4.在△ABC中,a=2bcosC,則這個三角形一定是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
答案 A
解析 由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,
sin(B+C)=2sin Bcos C,
sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
sin(B-C)=0,B=C.
5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則sin A∶sin B∶sin C等於()
A.6∶5∶4 B.7∶5∶3
C.3∶5∶7 D.4∶5∶6
答案 B
解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
b+c4=c+a5=a+b6.
令b+c4=c+a5=a+b6=k (k0),
則b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k.
sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
6.已知三角形面積為14,外接圓面積為,則這個三角形的三邊之積為()
A.1B.2
C.12D.4
答案 A
解析 設三角形外接圓半徑為R,則由,
得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,abc=1.
二、填空題
7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,則b=________.
答案 23
解析 ∵cosC=13,sinC=223,
12absinC=43,b=23.
8.在△ABC中,角A,B,C的`對邊分別為a,b,c,已知A=60,a=3,b=1,則c=________.
答案 2
解析 由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60=1sinB,
sinB=12,故B=30或150.由ab,
得AB,B=30,故C=90,
由勾股定理得c=2.
9.在單位圓上有三點A,B,C,設△ABC三邊長分別為a,b,c,則asinA+b2sinB+2csinC=________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圓直徑為2R=2,
asinA=bsinB=csinC=2R=2,
asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.
10.在△ABC中,A=60,a=63,b=12,S△ABC=183,則a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________.
答案 12 6
解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.
∵S△ABC=12absinC=126312sinC=183,
sinC=12,csinC=asinA=12,c=6.
三、解答題
11.在△ABC中,求證:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
證明 因為在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,
所以左邊=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA
=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右邊.
所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.
12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,試判斷△ABC的形狀.
解 設三角形外接圓半徑為R,則a2tanB=b2tanA
a2sinBcosB=b2sinAcosA
4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
2A=2B或2A+2B=
A=B或A+B=2.
△ABC為等腰三角形或直角三角形.
能力提升
13.在△ABC中,B=60,最大邊與最小邊之比為(3+1)∶2,則最大角為()
A.45B.60C.75D.90
答案 C
解析 設C為最大角,則A為最小角,則A+C=120,
sinCsinA=sin120-AsinA
=sin120cosA-cos120sinAsinA
=32tanA+12=3+12=32+12,
tanA=1,A=45,C=75.
14.在△ABC中,a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊,若a=2,C=4,
cosB2=255,求△ABC的面積S.
解 cosB=2cos2B2-1=35,
故B為鋭角,sinB=45.
所以sinA=sin(-B-C)=sin34-B=7210.
由正弦定理得c=asinCsinA=107,
所以S△ABC=12acsinB=12210745=87.
1.在△ABC中,有以下結論:
(1)A+B+C=
(2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;
(3)A+B2+C2=
(4)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2,tan A+B2=1tan C2.
2.藉助正弦定理可以進行三角形中邊角關係的互化,從而進行三角形形狀的判斷、三角恆等式的證明.
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