國中奧數幾何計數練習題
習題1:10個三角形最多將平面分成幾個部分?
解:設n個三角形最多將平面分成an個部分。
n=1時,a1=2;
n=2時,第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有2個交點,三條邊與第一個三角形最多有2×3=6(個)交點。這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段,這6段中的.每一段都將原來的每一個部分分成2個部分,從而平面也增加了6個部分,即a2=2+2×3。
n=3時,第三個三角形與前面兩個三角形最多有4×3=12(個)交點,從而平面也增加了12個部分,即:
a3=2+2×3+4×3。
……
一般地,第n個三角形與前面(n-1)個三角形最多有2(n-1)×3個交點,從而平面也增加2(n-1)×3個部分,故
an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3
=2+[2+4+…+2(n-1)]×3
=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。
特別地,當n=10時,a10=3×102+3×10+2=272,即10個三角形最多把平面分成272個部分。
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