長沙小升中奧數幾何問題格點與面積解題方法

常見解題方法：

求格點圖面積常見的幾種方法：數格子法、分割法、擴展法、畢克定理。

（一）數格子法

對於格點圖裏面的規則圖形，我們有時可以直接通過數圖形所佔的正方形方格或者三角形方格的個數得出規則圖形的面積，或者由圖形得出規則圖形相應的面積公式需要的量，代入公式解出面積即可！

例、如下圖，計算下列各個格點多邊形的面積：（四年級8月1號天天練）

【詳解】本題所給的圖形都是規則圖形，它們的面積運用公式直接可求，只要判斷出相應的有關數據就行了。

第（1）圖是正方形，邊長是4，所以面積是4×4=16（面積單位）；

第（2）圖是矩形，長是5，寬是3，所以面積是5×3=15（面積單位）；

第（3）圖是三角形，底是5，高是4，所以面積是5×4÷2=10（面積單位）；

第（4）圖是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是5×3=15（面積單位）；

第（5）圖是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是（3+5）×3÷2=12（面積單位）；

第（6）圖是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面積是（3＋6）×4÷2=18（面積單位）。

下面幾種方法主要針對的是格點圖中的不規則圖形，這也是本專題的重點！

（二）分割法

直接將格點圖中的不規則圖形分成若干個可求面積的規則圖形，然後通過計算規則圖形的面積來求原圖形的面積。

（三）擴展法

將原圖形擴展成可直接計算面積的規則圖形，同時擴展部分的圖形面積也是可以直接計算的，那麼原圖形的面積就等於規則圖形面積減去擴展部分的面積即可！

例、如圖所示，計算下面格點多邊形的面積（五年級8月1號天天練）

【詳解】這雖然是一個規則的三角形，但是可以直接用面積公式計算，或者通過數格子麼？好像不行，因為我們現在不能直接算出相應邊的`長度和高！現在嘗試用分割法和擴展法來解！

方法一（分割法）：如圖①做輔助線，將原圖分割成兩個小三角形。這兩個小三角形都以輔助線為底的話，高也是很容易就觀察出來的，都是2個單位長度，所以原三角形的面積為：5×2÷2×2=10（面積單位）。

方法二（擴展法）：如圖②將原圖擴展成一個長方形，很明顯這個長方形的長、寬分別為6、4個單位長度，而三個擴展的三角形A、B、C的面積也是很容易求的！A：6×2÷2=6、B：4×2÷2=4、C：2×4÷2=4，所以原三角形的面積為：6×4-6-4-4=10（面積單位）。

（四）畢克定理

正方形格點圖：若一個格點多邊形內部有N個格點，它的邊界上有L個格點，則它的面積為。

三角形格點圖：如果S表示面積，N表示圖形內包含的格點數，L表示圖形周界上的格點數，那麼有S=2×N+L-2。

例、下圖是一個812面積單位的圖形，求矩形內的箭形ABCDEFGH的面積。（五年級8月2號天天練）

【詳解】因為ABCDEFGH不是凸多邊形，所以，連結GC、MN,則△ABH、矩形GCNM、△MFE、△EDN都是凸的圖形，運用正方形格點圖的畢克定理，

故箭形ABCDEFGH的面積=(8+10÷2-1)+4×8+(4÷2-1)×2

=12+32+2=46(面積單位)。

注意：無論是在正方形格點圖還是在三角形格點圖中，只要是格點凸多邊形，我們一般都可以運用相應的畢克定理來解題，不過大家在數圖形內部、邊界上的格點數時要特別細心，不能數錯了！三種求格點面積的方法比較通用就是畢克定理了，建議可以多用！