二重極限如何被證明
二重極限是一個神奇的事物,這該怎麼證明呢?它是否存在呢?下面就是本站小編給大家整理的證明二重極限不存在內容,希望大家喜歡。
二重極限的介紹如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在,是二元函數這一節的難點,在這裏筆者對這一問題不打算做詳細的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找幾條通過(或趨於)定點(x0,y0)的'特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨於(x0,y0)時,f(x,y)趨於不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經過(x0,y0),並且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對於型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結論就不同(這時f(x,y)→1)。為什麼會出現這種情況呢?仔細分析一下就不難得到答案。
證明二重極限不存在方法一若用沿曲線,( ,y)一g( ,y)=0趨近於( ,y0)來討論,一0g ,Y 。。可能會出現錯誤,只有證明了( ,)不是孤立點後才不會出錯。[關鍵詞】二重極限;存在性;孤立點[中圖分類號]o13 [文獻標識碼]A [文章編號]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在。是二元函數這一節的難點,在這裏筆者對這一問題不打算做詳細的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limf(x,y)不存在,通常x—’10 y—’y0 的方法是:找幾條通過(或趨於)定點(xo,Yo)的特殊曲線,如果動點(x,Y)沿這些曲線趨於(xo,Y。)時,f(x,Y)趨於不同的值,則可判定二重極限limf(x,Y)不存在,這一方I—’10 r’Y0 法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經過(xo,Y。),並且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對於型如2 的極限,在判卜’Io g x,Y y—·y0 斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)一g(x,y):0,這樣做就很容易出錯。
當沿曲線y=-x+x^2趨於(0 0)時,極限為 lim (-x^2+x^3)/x^2=-1;
當沿直線y=x趨於(0 0)時,極限為 lim x^2/2x=0。故極限不存在。
證明二重極限不存在方法二x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次極限存在:
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ———————— =-1
y->0x->0 x+y
x-y+x^2+y^2
l i m l i m ———————— =1
x->0y->0 x+y
當沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時,易證極限不同,所以它的二重極限不存在。
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