數學中定義證明二重極限
二重極限是一個數學難題,那該如何去定義呢?下面就是學習啦小編給大家整理的定義證明二重極限內容,希望大家喜歡。
關於二重極限的定義各類數學教材中有各種不同的表述,歸納起來主要有以下三種:定義1設函數在點的某一鄰域內有定義(點可以除外),如果對於任意給定的正數。,總存在正數,使得對於所論鄰域內適合不等式的一切點P(X,y)所對應的函數值都滿足不等式那末,常數A就稱為函數當時的極限.定義2設函數的定義域為是平面上一點,函數在點兒的任一鄰域中除見外,總有異於凡的屬於D的點,若對於任意給定的正數。,總存在正數a,使得對D內適合不等式0<户幾卜8的一切點P,有不等式V(P)一週<。成立,則稱A為函數人P)當P~P。時的極限.定義3設函數X一人工,”的定義域為D,點產人工。,人)是D的聚點,如果對於任意給定的正數。,總存在正數8,使得對於適合不等式的一切點P(X,…ED,都有成立,則稱A為函數當時的極限.以上三種定義的差異主要在於對函數的前提假設不盡相同.定義1要求人X,…在點P入x。,汕)的某去心鄰域內有定義,而定義2允許人工,y)在點P。(X。,入)的任一去心鄰域內都有使人X,y)無定義的點,相應地,定義I要求見的'去心鄰域內的點P都適合/(P)一A卜
利用二重極限存在準則證明(1)當x趨近於正無窮時,(Inx/x^2)的極限為0;
(2)證明數列{Xn},其中a>0,Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收斂,並求其極限。
1)用夾逼準則:
x大於1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0
故(Inx/x^2)的極限為0
2)用單調有界數列收斂:
分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a
x0>√a時,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,單調遞減
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.
設數列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.
對原始兩邊求極限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0<√a時,極限亦為√a
綜上,數列極限存在,且為√
(一)時函數的極限:
以 時 和 為例引入.
介紹符號: 的意義, 的直觀意義.
定義 ( 和 . )
幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.
例1驗證 例2驗證 例3驗證 證 ……
(二)時函數的極限:
由 考慮 時的極限引入.
定義函數極限的“ ”定義.
幾何意義.
用定義驗證函數極限的基本思路.
例4 驗證 例5 驗證 例6驗證 證 由 =
為使 需有 為使 需有 於是, 倘限制 , 就有
例7驗證 例8驗證 ( 類似有 (三)單側極限:
1.定義:單側極限的定義及記法.
幾何意義: 介紹半鄰域 然後介紹 等的幾何意義.
例9驗證 證 考慮使 的 2.單側極限與雙側極限的關係:
Th類似有: 例10證明: 極限 不存在.
例11設函數 在點 的某鄰域內單調. 若 存在, 則有
= §2 函數極限的性質(3學時)
教學目的:使學生掌握函數極限的基本性質。
教學要求:掌握函數極限的基本性質:唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。
教學重點:函數極限的性質及其計算。
教學難點:函數極限性質證明及其應用。
考研數學二重極限的定義-
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