国小奥数计数的问题乘法原理练习
求正整数1400的正因数的个数.
解因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的`一些质因数的积,因此,我们先把1400分解成质因数的连乘积
1400=23527
所以这个数的任何一个正因数都是由2,5,7中的n个相乘而得到(有的可重复).于是取1400的一个正因数,这件事情是分如下三个步骤完成的:
(1)取23的正因数是20,21,22,33,共3+1种;
(2)取52的正因数是50,51,52,共2+1种;
(3)取7的正因数是70,71,共1+1种.
所以1400的正因数个数为
(3+1)×(2+1)×(1+1)=24.
说明利用本题的方法,可得如下结果:
若pi是质数,ai是正整数(i=1,2,…,r),则数
的不同的正因数的个数是
(a1+1)(a2+1)…(ar+1).
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