数论问题的奥数练习题:整数拆分的综合训练
把70表示成11个不同的自然数之和,同时要求含有质数的个数最多。
分析:先考虑把70表示成11个不同的.自然数之和。因1+2+3+……+11=66,现在要将4分配到适当的加数上,使其和等于70,又要使这11个加数互不相等。先将4分别加在后四个加数上,得到四种分拆方法:
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11
=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11
再将4拆成1+3,把1和3放在适当的位置上,仅有一种新方法:
70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12
再将4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2,分别加在不同的位置上,都得不出新的分拆方法,故这样的分拆方法一共有五种。
显然,这五种分拆方法中含有质数的个数最多的是:
1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
点金术:巧用举例和筛选法得出结论。
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