小升中奧數知識點講解:餘數問題與完全平方數
一、同餘的定義:
①若兩個整數a、b除以的餘數相同,則稱a、b對於模同餘。
②已知三個整數a、b、,如果|a-b,就稱a、b對於模同餘,記作a≡b(d ),讀作a同餘於b模。
二、同餘的性質:
①自身性:a≡a(d );
②對稱性:若a≡b(d ),則b≡a(d );
③傳遞性:若a≡b(d ),b≡c(d ),則a≡ c(d );
④和差性:若a≡b(d ),c≡d(d ),則a+c≡b+d(d ),a-c≡b-d(d );
⑤相乘性:若a≡ b(d ),c≡d(d ),則a×c≡ b×d(d );
⑥乘方性:若a≡b(d ),則an≡bn(d );
⑦同倍性:若a≡ b(d ),整數c,則a×c≡ b×c(d ×c);
三、關於乘方的.預備知識:
①若A=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除後的餘數特徵:
①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和,則M≡n(d 9)或(d 3);
②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和,表示M的各個偶數數位上數字的和,則M≡-X或M≡11-(X-)(d 11);
五、費爾馬小定理:
如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-1≡1(d p)。
小升中奧數知識點講解:完全平方數完全平方數特徵:
1. 末位數字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3餘0或餘1;反之不成立。
3. 除以4餘0或餘1;反之不成立。
4. 約數個數為奇數;反之成立。
5. 奇數的平方的十位數字為偶數;反之不成立。
6. 奇數平方個位數字是奇數;偶數平方個位數字是偶數。
7. 兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式:X2-2=(X-)(X+)
完全平方和公式:(X+)2=X2+2X+2
完全平方差公式:(X-)2=X2-2X+2
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