國小奧數數論知識講解:奇數偶數與奇偶性分析
【奇數和偶數】
例1 用l、2、3、4、5這五個數兩兩相乘,可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數多還是奇數多?
講析:如果兩個整數的積是奇數,那麼這兩個整數都必須是奇數。在這五個數中,只有三個奇數,兩兩相乘可以得到3個不同的奇數積。而偶數積共有7個。所以,乘積中是偶數的多。
例2 有兩組數,甲組:1、3、5、7、9……、23;乙組:2、4、6、8、10、……24,從甲組任意選一個數與乙組任意選出一個數相加,能得到______個不同的和。
講析:甲組有12個奇數,乙組有12個偶數。甲組中任意一個數與乙組中任意一個數相加的和,必為奇數,其中最大是47,最小是3。從3到47不同的奇數共有23個。所以,能得到23個不同的和。本題中,我們不能認為12個奇數與12個偶數任意搭配相加,會得到12×12=144(個)不同的和。因為其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】
例1 某班同學參加學校的數學競賽。試題共50道。評分標準是:答對一道給3分,不答給1分,答錯倒扣1分。請你說明:該班同學得分總和一定是偶數。
講析:如果50道題都答對,共可得150分,是一個偶數。每答錯一道題,就要相差4分,不管答錯多少道題,4的倍數總是偶數。150減偶數,差仍然是一個偶數。同理,每不答一道題,就相差2分,不管有多少道題不答,2的倍數總是偶數,偶數加偶數之和為偶數。所以,全班每個同學的分數都是偶數。則全班同學的得分之和也一定是個偶數。
例2 5只杯子杯口全都朝上。規定每次翻轉4只杯子,經過若干次後,能否使杯口全部朝下?
講析:一隻杯口朝上的杯子,要想使杯口朝下,必須翻轉奇數次。要想5只杯口全都朝上的杯子,杯口全都朝下,則翻動的總次數也一定是奇數次才能辦得到。現在每次只翻轉4只杯子,無論翻多少回,總次數一定是偶數。所以,不能使杯口全部朝下。
例3 某班共有25個同學。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個同學都坐到與他相鄰的座位上去。(指前、後、左、右),能否做得到?
講析:如圖5.44,為了方便,我們將每一格用A或B表示,也就是與A相鄰的用B表示,與B相鄰的用A表示。要想使每位同學都坐到相鄰座位上去,也就是說坐A座位的同學都要坐到B座位上去,而坐B座位上的同學都要坐到A座位上去。但是,A座位共13個,而B座位共12個,所以,不管怎樣坐,要想坐A座位的同學都坐到B座位上去,是辦不到的'。
例4 線段AB的兩個端點,一個標以紅色,一個標以藍色。線上段中間插入1991個分點,每個分點隨意標上紅色或藍色。這樣分得1992條不重疊的小線段,如果把兩端點顏色不同的小線段叫做標準線段,那麼標準線段的條數是奇數還是偶數?
講析:每插入一個點,無論其顏色怎樣,其非標準線段的條數增加0條或2條,所以插入1991個點後,非標準線段增加總數是一個偶數。又原非標準線段條數為1,是一個奇數,故最後得到的非標準線段必為奇數。非標準線段條數+標準線段條數=1992條。所以,標準線段的條數是奇數。
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