關於二重極限如何證明
二重極限是一種數學難題,那該如何用定義來證明呢?下面就是學習啦小編給大家整理的用定義證明二重極限內容,希望大家喜歡。
利用二重極限存在準則證明(1)當x趨近於正無窮時,(Inx/x^2)的極限為0;
(2)證明數列{Xn},其中a>0,Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收斂,並求其極限。
1)用夾逼準則:
x大於1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0
故(Inx/x^2)的極限為0
2)用單調有界數列收斂:
分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a
x0>√a時,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,單調遞減
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.
設數列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.
對原始兩邊求極限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0<√a時,極限亦為√a
綜上,數列極限存在,且為√
(一)時函式的極限:
以 時 和 為例引入.
介紹符號: 的意義, 的直觀意義.
定義 ( 和 . )
幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.
例1驗證 例2驗證 例3驗證 證 ……
(二)時函式的極限:
由 考慮 時的極限引入.
定義函式極限的“ ”定義.
幾何意義.
用定義驗證函式極限的基本思路.
例4 驗證 例5 驗證 例6驗證 證 由 =
為使 需有 為使 需有 於是, 倘限制 , 就有
例7驗證 例8驗證 ( 類似有 (三)單側極限:
1.定義:單側極限的定義及記法.
幾何意義: 介紹半鄰域 然後介紹 等的幾何意義.
例9驗證 證 考慮使 的 2.單側極限與雙側極限的關係:
Th類似有: 例10證明: 極限 不存在.
例11設函式 在點 的某鄰域內單調. 若 存在, 則有
= §2 函式極限的性質(3學時)
教學目的:使學生掌握函式極限的基本性質。
教學要求:掌握函式極限的基本性質:唯一性、區域性保號性、不等式性質以及有理運算性等。
教學重點:函式極限的性質及其計算。
教學難點:函式極限性質證明及其應用。
考研數學二重極限的定義極限是考研數學每年必考的內容,所佔比重相當大,在此整理求數列極限的方法,僅供大家參考。
極限在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到,平均每年直接考查所佔的'分值在10分左右,而事實上,由於這一部分內容的基礎性,每年間接考查或與其他章節結合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點,考題所佔比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關鍵。
一、極限無外乎出這三個題型:求數列極限、求函式極限、已知極限求待定引數。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關鍵,極限的運演算法則必須遵從,兩個極限都存在才可以進行極限的運算,如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內容簡單總結下。
二、極限的計算常用方法:四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調有界收斂定理、利用連續性求極限等方法。
四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限是常用方法,在基礎階段的學習中是重點,考生應該已經非常熟悉,進入強化複習階段這些內容還應繼續練習達到熟練的程度;在強化複習階段考生會遇到一些較為複雜的極限計算,此時運用泰勒公式代替洛必達法則來求極限會簡化計算,熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來計算某些和式的極限,如果最大的分母和最小的分母相除的極限等於1,則使用夾逼定理進行計算,如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等於1,則湊成定積分的定義的形式進行計算;單調有界收斂定理可用來證明數列極限存在,並求遞迴數列的極限。
三、與極限計算相關知識點包括:
1、連續、間斷點以及間斷點的分類:判斷間斷點型別的基礎是求函式在間斷點處的左右極限;
2、可導和可微,分段函式在分段點處的導數或可導性,一律通過導數定義直接計算或檢驗存在的定義是極限存在;
3、漸近線,(垂直、水平或斜漸近線);
4、多元函式積分學,二重極限的討論計算難度較大,常考查證明極限不存在。
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