九年級數學下學期期中檢測試卷2017

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　　一、選擇題(本大題共10小題，每題4分，共40分)

1.對於二次函數y=(x﹣4)2+3的圖象，下列説法正確的是(　　)

A.開口向下 B.與x軸有兩個交點

C.對稱軸：直線x=﹣4 D.頂點座標(4，3)

2.一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，則從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率為(　　)

A. B. C. D.

3.如圖，正三角形ABC內接於圓O，動點P在圓周的劣弧AB上，且不與A，B重合，則∠BPC等於(　　)

A.30° B.60° C.90° D.45°

4.若拋物線y=ax2經過點P(1，﹣3)，則此拋物線也經過點(　　)

A.(﹣1，3) B.(﹣3，1) C.(1，3) D.(﹣1，﹣3)

5.數學課上，老師讓學生尺規作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是(　　)

A.勾股定理

B.直徑所對的圓周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圓周角所對的弦是直徑

6.若A(0，y1)，B(﹣3，y2)，C(3，y3)為二次函數y=﹣x2+4x﹣k的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關係是(　　)

A.y1

7.如果二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，那麼(　　)

A.a<0，b>0，c>0 B.a>0，b<0，c>0 C.a>0，b<0，c<0 D.a>0，b>0，c<0

8.如果一種變換是將拋物線向右平移2個單位或向上平移1個單位，我們把這種變換稱為拋物線的簡單變換.已知拋物線經過兩次簡單變換後的一條拋物線是y=x2+1，則原拋物線的解析式不可能的是(　　)

A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17

9.一個正多邊形的每個外角都等於30°，那麼這個正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對的圓心角為(　　)

A.15° B.60° C.45° D.30°

10.如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸與點A(a，0)和B(b，0)，交y軸於點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

①當x>0時，y>0;

②若a=﹣1，則b=4;

③拋物線上有兩點P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<12，則y1>y2;

④點C關於拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6.

其中真命題的序號是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

　　二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)

11.在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區別，搖勻後從中隨機抽出一個球.記下顏色後再放回口袋中，通過大量重複摸球實驗發現，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球　　　　　　個.

12.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為6cm和8cm，則這個直角三角形的外接圓的半徑為　　　　　　cm.

13.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為　　　　　　mm.

14.廊橋是我國古老的文化遺產.如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數表達式為y=﹣ x2+10，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是　　　　　　米.(精確到1米)

15.如圖，王虎使一長為4cm，寬為3cm的長方形木板，在桌面上做無滑動的翻滾(順時針方向)木板上點A位置變化為A到A1到A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成30°角，則點A翻滾到A2時共走過的路徑長為　　　　　　cm.(結果保留π).

16.在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸於點H，在拋物線y=x2(x>0)上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的座標是　　　　　　.

　　三、解答題(本大題有8小題，第17-20小題每小題8分，第21小題10分，第22、23小題每小題8分，第24小題14分，共80分.解答需寫出必要的文字説明、演算步驟)

17.已知二次函數當x=1時，y有最大值為5，且它的圖象經過點(2，3)，求這個函數的關係式.

18.在一個不透明的盒子裏，裝有四個分別寫有數字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形狀、大小一樣)，先從盒子裏隨機取出一個乒乓球，記下數字後放回盒子，然後攪勻，再從盒子裏隨機取出一個乒乓球，記下數字.

(1)求一次取出乒乓球上的數字是負數的概率;

(2)求兩次取出乒乓球上的數字之和等於0的概率.

(3)求兩次取出乒乓球上的數字之積小於2的概率.

19.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交於點E.

(1)若∠B=72°，求∠CAD的度數;

(2)若AB=13，AC=12，求DE的長.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交於點D、E.

(1)求證：BD=CD;

(2)若AB=8，∠A=60°，求弓形AE的面積.

21.在平面直角座標系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3);

(1)將△ABC沿x軸負方向平移2個單位至△A1B1C1，畫圖並寫出C1的座標　　　　　　;

(2)以A1點為旋轉中心，將△A1B1C1逆時針方向旋轉90°得△A1B2C2，畫圖並寫出C2的座標　　　　　　;

(3)在平移和旋轉過程中線段BC掃過的面積為　　　　　　.

22.我區“聯華”超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那麼每天可售出400千克.由銷售經驗知，每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元)(x≥30)存在如圖所示的一次函數關係.

(1)試求出y與x的函數關係式;

(2)設超市銷售該綠色食品每天獲得利潤p元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少?

23.如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點.∠APC=∠CPB=60°.

(1)判斷△ABC的形狀：　　　　　　;

(2)當點P位於什麼位置時，四邊形APBC的面積最大?求出最大面積;

(3)直接寫出線段PA，PB，PC之間的數量關係.

24.如圖，拋物線y=ax2+c(a≠0)與y軸交於點A，與x軸交於B，C兩點(點C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現將拋物線沿BA方向平移，平移後的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H.

(1)求a、c的值.

(2)連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，並説明理由.

(3)現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交於點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等?若存在，求出點Q的座標;若不存在，請説明理由.

　　參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共10小題，每題4分，共40分)

1.對於二次函數y=(x﹣4)2+3的圖象，下列説法正確的是(　　)

A.開口向下 B.與x軸有兩個交點

C.對稱軸：直線x=﹣4 D.頂點座標(4，3)

【考點】二次函數的性質.

【分析】根據二次函數的性質可的拋物線開口方向、對稱軸方程和頂點座標，然後根據開口方向和頂點座標可判斷拋物線與x軸的交點情況.

【解答】解：二次函數y=(x﹣4)2+3的圖象的開口向上，對稱軸為直線x=4，頂點座標為(4，3)，所以拋物線與x軸沒有交點.

故選D.

2.一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，則從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率為(　　)

A. B. C. D.

【考點】概率公式.

【分析】由一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：∵一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，

∴從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率為： = .

故選A.

3.如圖，正三角形ABC內接於圓O，動點P在圓周的劣弧AB上，且不與A，B重合，則∠BPC等於(　　)

A.30° B.60° C.90° D.45°

【考點】圓周角定理;等邊三角形的性質.

【分析】由等邊三角形的性質知，∠A=60°，即弧BC的度數為60°，可求∠BPC=60°.

【解答】解：∵△ABC正三角形，

∴∠A=60°，

∴∠BPC=60°.

故選B.

4.若拋物線y=ax2經過點P(1，﹣3)，則此拋物線也經過點(　　)

A.(﹣1，3) B.(﹣3，1) C.(1，3) D.(﹣1，﹣3)

【考點】二次函數圖象上點的座標特徵.

【分析】將點P(1，﹣3)代入y=ax2可求得解析式為y=﹣3x2，將四個點座標分別代入驗證可知將P (﹣1，﹣3)代入解析式得﹣3=﹣3×(﹣1)2，成立.

【解答】解：∵將點P(1，﹣3)代入y=ax2得a=﹣3，

∴y=﹣3x2，

將四個點座標分別代入解析式可知，當x=﹣1時，y=﹣3，即D選項正確，其他三個選項均不成立.

故選：D.

5.數學課上，老師讓學生尺規作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是(　　)

A.勾股定理

B.直徑所對的圓周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圓周角所對的弦是直徑

【考點】作圖—複雜作圖;勾股定理的逆定理;圓周角定理.

【分析】由作圖痕跡可以看出AB是直徑，∠ACB是直徑所對的圓周角，即可作出判斷.

【解答】解：由作圖痕跡可以看出O為AB的中點，以O為圓心，AB為直徑作圓，然後以B為圓心BC=a為半徑花弧與圓O交於一點C，故∠ACB是直徑所對的圓周角，所以這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是：直徑所對的圓周角是直角.

故選：B.

6.若A(0，y1)，B(﹣3，y2)，C(3，y3)為二次函數y=﹣x2+4x﹣k的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關係是(　　)

A.y1

【考點】二次函數圖象上點的座標特徵.

【分析】分別計算自變量為0、3、﹣3時的函數值，然後比較函數值的大小即可.

【解答】解：當x=0時，y1=﹣x2+4x﹣k=﹣k;

當x=﹣3時，y2=﹣x2+4x﹣k=﹣21﹣k;

當x=3時，y3=﹣x2+4x﹣k=3﹣k，

所以y2

故選B.

7.如果二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，那麼(　　)

A.a<0，b>0，c>0 B.a>0，b<0，c>0 C.a>0，b<0，c<0 D.a>0，b>0，c<0

【考點】二次函數圖象與係數的關係.

【分析】首先根據開口方向確定a的符號，再依據對稱軸的正負和a的符號即可判斷b的符號，然後根據與y軸的交點的縱座標即可判斷c的正負，由此得出答案即可.

【解答】解：∵圖象開口方向向上，

∴a>0;

∵圖象的對稱軸在x軸的正半軸上，

∴﹣ >0，

∵a>0，

∴b<0;

∵圖象與Y軸交點在y軸的負半軸上，

∴c<0;

∴a>0，b<0，c<0.

故選：C.

8.如果一種變換是將拋物線向右平移2個單位或向上平移1個單位，我們把這種變換稱為拋物線的簡單變換.已知拋物線經過兩次簡單變換後的一條拋物線是y=x2+1，則原拋物線的解析式不可能的是(　　)

A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17

【考點】二次函數圖象與幾何變換.

【分析】根據圖象左移加，右移減，圖象上移加，下移減，可得答案.

【解答】解：A、y=x2﹣1，先向上平移1個單位得到y=x2，再向上平移1個單位可以得到y=x2+1，故A正確;

B、y=x2+6x+5=(x+3)2﹣4，無法經兩次簡單變換得到y=x2+1，故B錯誤;

C、y=x2+4x+4=(x+2)2，先向右平移2個單位得到y=(x+2﹣2)2=x2，再向上平移1個單位得到y=x2+1，故C正確;

D、y=x2+8x+17=(x+4)2+1，先向右平移2個單位得到y=(x+4﹣2)2+1=(x+2)2+1，再向右平移2個單位得到y=x2+1，故D正確.

故選：B.

9.一個正多邊形的每個外角都等於30°，那麼這個正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對的圓心角為(　　)

A.15° B.60° C.45° D.30°

【考點】多邊形內角與外角.

【分析】根據多邊形的外角和為360°，又由正多邊形的每一個外角都相等，求出多邊形的邊數，根據圓心角為360°，即可解答.

【解答】解：正多邊形的邊數為：360÷30=12，

這個正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對的圓心角為：360°÷12=30°，

故選：D.

10.如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸與點A(a，0)和B(b，0)，交y軸於點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

①當x>0時，y>0;

②若a=﹣1，則b=4;

③拋物線上有兩點P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<12，則y1>y2;

④點C關於拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6.

其中真命題的序號是(　　)

A.① B.② C.③ D.④

【考點】命題與定理.

【分析】利用拋物線在x軸上方所對應的自變量的範圍可對①進行判斷;先求出拋物線的對稱軸，然後利用拋物線的對稱性可對②進行判斷;先求出拋物線的對稱軸方程，然後比較點P和Q到對稱軸的距離大小，則根據二次函數的大小可對③進行判斷;先求出D點和E點座標，則作D點關於y軸的對稱點D′(﹣1，4)，E點關於x軸的對稱點E′(2，﹣3)，連結D′E′分別交x軸和y軸於G、F點，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時DF+FG+GE的值最小，所以四邊形EDFG周長的最小，然後利用勾股定理計算出DE和D′E′，則可對④進行判斷.

【解答】解：當a

拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，所以A點座標為(﹣1，0)，則B(3，0)，所以②錯誤;

拋物線的對稱軸為直線x=1，而x1<12，所以點Q離對稱軸較遠，所以y1>y2，所以③正確;

當m=2，則y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，則D(1，4);當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C(0，3)，C點關於對稱軸的對稱點E的座標為(2，3)，作D點關於y軸的對稱點D′(﹣1，4)，E點關於x軸的對稱點E′(2，﹣3)，連結D′E′分別交x軸和y軸於G、F點，如圖，

所以DF+FG+GE=D′F+FG+GE′=D′E′，此時DF+FG+GE的值最小，所以四邊形EDFG周長的最小，最小值= + = + ，所以④錯誤.

故選C.

二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)

11.在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區別，搖勻後從中隨機抽出一個球.記下顏色後再放回口袋中，通過大量重複摸球實驗發現，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球　16　個.

【考點】利用頻率估計概率.

【分析】利用大量重複實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，並且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

【解答】解：設紅球有x個，根據題意得，

= =0.2，

解得x=16.

故答案為16.

12.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為6cm和8cm，則這個直角三角形的外接圓的半徑為　5　cm.

【考點】三角形的外接圓與外心;勾股定理.

【分析】首先根據勾股定理，得斜邊是10，再根據其外接圓的半徑是斜邊的一半，得出其外接圓的半徑.

【解答】解：∵直角邊長分別為6cm和8cm，

∴斜邊是10，

∴這個直角三角形的外接圓的半徑為5cm.

13.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為　8　mm.

【考點】垂徑定理的應用;勾股定理.

【分析】先求出鋼珠的半徑及OD的長，連接OA，過點O作OD⊥AB於點D，則AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的長，進而得出AB的長.

【解答】解：連接OA，過點O作OD⊥AB於點D，則AB=2AD，

∵鋼珠的直徑是10mm，

∴鋼珠的半徑是5mm，

∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，

∴OD=3mm，

在Rt△AOD中，

∵AD= = =4mm，

∴AB=2AD=2×4=8mm.

故答案為：8.

14.廊橋是我國古老的文化遺產.如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數表達式為y=﹣ x2+10，為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的`點E，F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是　18　米.(精確到1米)

【考點】二次函數的應用.

【分析】由題可知，E、F兩點縱座標為8，代入解析式後，可求出二者的橫座標，F的橫座標減去E的橫座標即為EF的長.

【解答】解：由“在該拋物線上距水面AB高為8米的點”，

可知y=8，

把y=8代入y=﹣ x2+10得：

x=±4 ，

∴由兩點間距離公式可求出EF=8 ≈18(米).

15.如圖，王虎使一長為4cm，寬為3cm的長方形木板，在桌面上做無滑動的翻滾(順時針方向)木板上點A位置變化為A到A1到A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成30°角，則點A翻滾到A2時共走過的路徑長為　 　cm.(結果保留π).

【考點】弧長的計算.

【分析】利用弧長公式計算.

【解答】解：第一次轉動是以點B為圓心，AB為半徑，圓心角是90度，

所以弧AA1的長= = ，

第二次轉動是以點C為圓心，A1C為半徑圓心角為60度，

所以弧A1A2的長= =π，

所以總長= .

故答案為：

16.在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸於點H，在拋物線y=x2(x>0)上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的座標是　( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 )　.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】由於兩三角形的對應邊不能確定，故應分四種情況進行討論：

①∠POQ=∠OAH=30°，此時A、P重合，可聯立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點座標，由三角形的面積公式即可得出結論;

②∠POQ=∠AOH=60°，此時∠POH=30°，即直線OP：y= x，聯立拋物線的解析式可得P點座標，進而可求出OQ、PQ的長，由於△POQ≌△AOH，那麼OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的座標，由三角形的面積公式即可得出結論;

③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH，得到點A的座標，由三角形的面積公式即可得出結論;

④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH，得到點A的座標，由三角形的面積公式即可得出結論.

【解答】解：①如圖1，當∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那麼A、P重合;

∵∠AOH=60°，

∴直線OA：y= x，

聯立拋物線的解析式得： ，

解得： 或 ，

故A( ，3);

②當∠POQ=∠AOH=60°，此時△POQ≌△AOH，

易知∠POH=30°，則直線y= x，聯立拋物線的解析式，

得： ，

解得： 或 ，

故P( ， )，那麼A( ， );

③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH;

易知∠POH=30°，則直線y= x，聯立拋物線的解析式，

得： ，

解得： 或 ，

故P( ， )，

∴OP= = ，QP= ，

∴OH=OP= ，AH=QP= ，

故A( ， );

④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH;

此時直線y= x，聯立拋物線的解析式，

得： ，

解得： 或 ，

∴P( ，3)，

∴QP=2，OP=2 ，

∴OH=QP=2，AH=OP=2 ，

故A(2，2 ).

綜上可知：符合條件的點A有四個，分別為：( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 ).

故答案為：( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 ).

三、解答題(本大題有8小題，第17-20小題每小題8分，第21小題10分，第22、23小題每小題8分，第24小題14分，共80分.解答需寫出必要的文字説明、演算步驟)

17.已知二次函數當x=1時，y有最大值為5，且它的圖象經過點(2，3)，求這個函數的關係式.

【考點】待定係數法求二次函數解析式.

【分析】設這個函數解析式為y=a(x﹣1)2+5，把點(2，3)代入解析式求出a即可.

【解答】解：設這個函數解析式為y=a(x﹣1)2+5

把點(2，3)代入，3=a(2﹣1)2+5，解得a=﹣2，

∴這個函數解析式是y=﹣2(x﹣1)2+5.

18.在一個不透明的盒子裏，裝有四個分別寫有數字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形狀、大小一樣)，先從盒子裏隨機取出一個乒乓球，記下數字後放回盒子，然後攪勻，再從盒子裏隨機取出一個乒乓球，記下數字.

(1)求一次取出乒乓球上的數字是負數的概率;

(2)求兩次取出乒乓球上的數字之和等於0的概率.

(3)求兩次取出乒乓球上的數字之積小於2的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】(1)由在一個不透明的盒子裏，裝有四個分別寫有數字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形狀、大小一樣)，直接利用概率公式求解即可求得答案;

(2)首先根據題意畫出樹狀圖，然後由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次取出乒乓球上的數字之和等於0的情況，再利用概率公式即可求得答案;

(3)由(2)中的樹狀圖可求得兩次取出乒乓球上的數字之積小於2的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：(1)∵在一個不透明的盒子裏，裝有四個分別寫有數字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形狀、大小一樣)，

∴一次取出乒乓球上的數字是負數的概率為： = ;

(2)畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結果，兩次取出乒乓球上的數字之和等於0的有4種情況，

∴兩次取出乒乓球上的數字之和等於0的概率為： = ;

(3)∵兩次取出乒乓球上的數字之積小於2的有10種情況，

∴兩次取出乒乓球上的數字之積小於2的概率為： = .

19.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交於點E.

(1)若∠B=72°，求∠CAD的度數;

(2)若AB=13，AC=12，求DE的長.

【考點】圓周角定理;勾股定理.

【分析】(1)由AB是半圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠C=90°，繼而求得∠CAB的度數，又由OD∥BC，OA=OD，即可求得∠OAD的度數，繼而求得答案;

(2)由AB=13，AC=12，可求得C的長，然後由垂徑定理，可知OE是△ABC的中位線，則可求得OE的長，繼而求得答案.

【解答】解：(1)∵AB是半圓O的直徑，

∴∠C=90°，

∵∠B=72°，

∴∠CAB=90°﹣∠B=18°，

∵OD∥BC，

∴∠AOD=∠B=72°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠D=54°，

∴∠CAD=∠OAD﹣∠CAB=36°;

(2)∵AB=13，AC=12，

∴BC= =5，

∵OD∥BC，∠C=90°，

∴OD⊥AC，

∴AE=CE，

∵OA=OB，

∴OE= BC=2.5，

∵OD=OA= AB=6.5，

∴DE=OD﹣OE=4.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交於點D、E.

(1)求證：BD=CD;

(2)若AB=8，∠A=60°，求弓形AE的面積.

【考點】扇形面積的計算;等腰三角形的性質.

【分析】(1)連接AD，根據圓周角定理的推論得到∠BDA=90°，再根據等腰三角形的性質即可得到BD=CD;

(2)連接OE，先求得∠AOE，再用扇形AOE的面積減去△AOE的面積即可得出弓形AE的面積.

【解答】證明：(1)連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，

∴AD⊥BC.

∵AB=AC.

∴BD=CD;

(2)連接OE，

∵AB=8，∠A=60°，

∴OA=OE=4，∠AOE=60°，

∴S弓形AE=S扇形AOE﹣S△AOE= ﹣ ×4×2 = π﹣4 .

21.在平面直角座標系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3);

(1)將△ABC沿x軸負方向平移2個單位至△A1B1C1，畫圖並寫出C1的座標　(﹣1，3)　;

(2)以A1點為旋轉中心，將△A1B1C1逆時針方向旋轉90°得△A1B2C2，畫圖並寫出C2的座標　(﹣3，﹣1)　;

(3)在平移和旋轉過程中線段BC掃過的面積為　2π+4　.

【考點】作圖-旋轉變換;扇形面積的計算;作圖-平移變換.

【分析】(1)根據平移的性質得出對應點座標進而得出答案;

(2)根據旋轉的性質得出對應點座標，進而得出對應點座標即可;

(3)根據平移的性質以及旋轉的性質進而得出線段BC掃過的面積.

【解答】解：(1)如圖所示：△A1B1C1即為所求，C1(﹣1，3);

故答案為：(﹣1，3);

(2)如圖所示：△A2B2C2即為所求，C2(﹣3，﹣1);

故答案為：(﹣3，﹣1);

(3)在平移和旋轉過程中線段BC掃過的面積為：2×2+ ﹣ =2π+4.

故答案為：2π+4.

22.我區“聯華”超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那麼每天可售出400千克.由銷售經驗知，每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元)(x≥30)存在如圖所示的一次函數關係.

(1)試求出y與x的函數關係式;

(2)設超市銷售該綠色食品每天獲得利潤p元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少?

【考點】二次函數的應用.

【分析】(1)由一次函數的圖象可知過(30，400)和(40，200)，利用待定係數法可求得y與x的關係式;

(2)利用x可表示出p，再利用二次函數的性質可求得p的最大值.

【解答】解：

(1)設一次函數解析式為y=kx+b(k≠0)，

由圖象可知一次函數的過(30，400)和(40，200)，

代入解析式可得 ，解得 ，

∴y與x的函數關係式為y=﹣20x+1000(20≤x≤50);

(2)由(1)可知每天的銷售量為y千克，

∴p=y(x﹣20)=(﹣20x+1000)(x﹣20)=﹣20x2+1400x+20000=﹣20(x﹣35)2+44500，

∵﹣20<0，

∴p=﹣20(x﹣35)2+44500是開口向下的拋物線，

∴當x=35時，p有最大值，最大值為44500元，

即銷售單價為35元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤為44500元.

23.如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點.∠APC=∠CPB=60°.

(1)判斷△ABC的形狀：　等邊三角形　;

(2)當點P位於什麼位置時，四邊形APBC的面積最大?求出最大面積;

(3)直接寫出線段PA，PB，PC之間的數量關係.

【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀;

(2)過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為 的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積;

(3)在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然後證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得.

【解答】證明：(1)△ABC是等邊三角形.

證明如下：在⊙O中

∵∠BAC與∠CPB是 所對的圓周角，∠ABC與∠APC是 所對的圓周角，

∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，

又∵∠APC=∠CPB=60°，

∴∠ABC=∠BAC=60°，

∴△ABC為等邊三角形;

故答案為：等邊三角形;

(2)當點P為 的中點時，四邊形APBC的面積最大.

理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E.

過點C作CF⊥AB，垂足為F.

∵S△APB= AB•PE，S△ABC= AB•CF，

∴S四邊形APBC= AB•(PE+CF)，

當點P為 的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，

∴此時四邊形APBC的面積最大.

又∵⊙O的半徑為1，

∴其內接正三角形的邊長AB= ，

∴S四邊形APBC= ×2× = ;

(3)在PC上截取PD=AP，如圖2，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中， ，

∴△APB≌△ADC(AAS)，

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴CP=BP+AP.

24.如圖，拋物線y=ax2+c(a≠0)與y軸交於點A，與x軸交於B，C兩點(點C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現將拋物線沿BA方向平移，平移後的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H.

(1)求a、c的值.

(2)連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，並説明理由.

(3)現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交於點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等?若存在，求出點Q的座標;若不存在，請説明理由.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)先求出A(0，c)，則OA=c，再根據等腰直角三角形的性質得OA=OB=OC=c，理由三角形面積公式得 •c•2c=4，解得c=2，接着把C(2，0)代入y=ax2+2可求出a的值;

(2)如圖1，先利用待定係數法求出直線AB的解析式為y=x+2，設F(t，t+2)，利用拋物線平移的規律可設平移後的拋物線解析式為y=﹣ (x﹣t)2+t+2，再把C(2，0)代入得﹣ (2﹣t)2+t+2=0，可解得t=6，則平移後的拋物線解析式為y=﹣ (x﹣6)2+8，所以F(6，8)，利用勾股定理計算出OF=10，接着根據拋物線與x軸的交點問題確定E(10，0)，則OE=OF=10，於是可判斷△OEF為等腰三角形;

(3)分類討論：當點Q在射線HF上，如圖2，利用三角形全等的判定方法，當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，則可根據勾股定理計算出QH=2 ，於是可得Q點座標為(6，2 );當點Q在射線AF上，如圖3，利用三角形全等的判定方法，當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，設Q(m，m+2)，利用兩點間的距離公式得到(m﹣10)2+(m+2)2=102，解方程求出m的值即可得到Q點座標.

【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2+c(a≠0)與y軸交於點A，

∴A(0，c)，則OA=c，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴OA=OB=OC=c，

∴ •c•2c=4，解得c=2，

∴C(2，0)，

把C(2，0)代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣ ;

(2)△OEF是等腰三角形.理由如下：如圖1，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把A(0，2)、B(﹣2，0)代入得 ，解得 ，

則直線AB的解析式為y=x+2，

設F(t，t+2)，

∵拋物線y=﹣ x2+2沿BA方向平移，平移後的拋物線過點C時，頂點為F，

∴平移後的拋物線解析式為y=﹣ (x﹣t)2+t+2，

把C(2，0)代入得﹣ (2﹣t)2+t+2=0，解得t=6，

∴平移後的拋物線解析式為y=﹣ (x﹣6)2+8，

∴F(6，8)，

∴OF= =10，

令y=0，﹣ (x﹣6)2+8=0，解得x1=2，x2=10，

∴OE=10，

∴OE=OF，

∴△OEF為等腰三角形;

(3)存在.點Q的位置分兩種情形.

情形一：點Q在射線HF上，

當點P在x軸上方時，如圖2，

∵∠EQP=90°，EP=EP，

∴當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，

而HE=10﹣6=4，

∴QH= =2 ，

此時Q點座標為(6，2 );

當點P在x軸下方時，如圖3，有PQ=OE=10，過P點作PK⊥HF於點K，則有PK=6，

在Rt△PQK中，QK= = =8，

∵∠PQE=90°，∴∠PQK+HQE=90°，

∵∠PKQ=∠QHE=90°，

∴△PKQ∽△QHE，

∴ ，∴ ，解得QH=3，

∴Q(6，3).

情形二、點Q在射線AF上，

當PQ=OE=10時，如圖4，有QE=PO，

∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫座標為10，

當x=10時，y=x+2=12，∴Q(10，12).

當QE=OE=10時，如圖5，

過Q作QM⊥y軸於點M，過E點作x軸的垂線交QM於點N.

設Q的座標為為(x，x+2)，∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2，

在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，即102=(10﹣x)2+(x+2)2，解得x=4± ，

當x=4+ 時，如圖5，y=x+2=6+ ，∴Q(4+ ，6+ )，

當x=4﹣ 時，如圖5，y=x+2=6﹣ ，∴Q(4﹣ ，6﹣ )，

綜上所述，Q點的座標為(6，2 )或(6，3)或(10，12)或(4+ ，6+ )或(4﹣ ，6﹣ )，使P，Q，E三點為頂點的三角形與△POE全等.