2018屆自貢市大學聯考文科數學模擬試卷及答案

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　　2018屆自貢市大學聯考文科數學模擬試卷題目

一、選擇題

1.設集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，則A∪B=(　　)

A.{1，2} B.{0，1，2，3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}

2.若從2個濱海城市和2個內陸城市中隨機選取1個取旅遊，那麼恰好選1個濱海城市的概率是(　　)

A. B. C. D.

3.已知複數z=1+i，則 等於(　　)

A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2

4.設變量x，y滿足線性約束條件 則目標函數z=2x+4y的最小值是(　　)

A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6

5.閲讀右邊程序框圖，當輸入的值為3時，運行相應程序，則輸出x的值為(　　)

A.7 B.15 C.31 D.63

6.已知數列{an}為等差數列，Sn為前n項和，公差為d，若 ﹣ =100，則d的值為(　　)

A. B. C.10 D.20

7.設m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　)

A.若α⊥β，m⊥α，則m∥β B.若m⊥α，n∥α，則m⊥n

C.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

8.設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若sinA=2 sinB， ，則△ABC的面積為(　　)

A. B. C. D.

9.給出下列命題：

①函數y=cos( ﹣2x)是偶函數;

②函數y=sin(x+ )在閉區間上是增函數;

③直線x= 是函數y=sin(2x+ )圖象的一條對稱軸;

④將函數y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位，得到函數y=cos2x的圖象，其中正確的命題的個數為(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　)

A. B. C. D. +2

11.已知函數f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f(a2)+f(a﹣2)>4，則實數a的取值範圍(　　)

A.(﹣∞，1) B.(﹣∞，3) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)

12.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)，過雙曲線右焦點F傾斜角為 的直線與該雙曲線的漸近線分別交於M、N.若|FM|=2|FN|，則該雙曲線的離心率等於(　　)

A. B. C. 或 D. 或

二、填空題

13.設等比數列{an}的公比q= ，前n項和為Sn，則 =　　.

14.已知向量 ， ，其中| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，則向量 ， 的夾角是　　.

15.關於函數f(x)=ln ，有下列三個命題：

①f(x)的定義域為(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞);

②f(x)為奇函數;

③f(x)在定義域上是增函數;

④對任意x1，x2∈(﹣1，1)，都有f(x1)+f(x2)=f( ).

其中真命題有　　(寫出所有真命題的番號)

16.如圖所示，一輛裝載集裝箱的載重卡車高為3米，寬為2.2米，欲通過斷面上部為拋物線形，下部為矩形ABCD的隧道.已知拱口寬AB等於拱高EF的4倍，AD=1米.若設拱口寬度為t米，則能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值等於　　.

三、解答題

17.已知函數f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

(Ⅰ)求函數f(x)的最小正週期;

(Ⅱ)求函數f(x)在區間上的最大值.

18.如圖，圓錐的橫截面為等邊三角形SAB，O為底面圓圓心，Q為底面圓周上一點.

(Ⅰ)如果BQ的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ;

(Ⅱ)如果∠AOQ=60°，QB=2 ，求該圓錐的體積.

19.某超市計劃每天購進某商品若干件，該超市每銷售一件該商品可獲利潤80元，若供大於求，剩餘商品全部退回，但每件商品虧損20元;若供不應求，則從外部調劑，此時每件調劑商品可獲利40元.

(Ⅰ)若商店一天購進該商品10件，求當天的利潤y(單位：元)關於當天需求量n(單位：件，n∈N)的函數解析式;

(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件，n∈N)，整理得下表：

日需求量 7 8 9 10 11 12

頻數 5 7 10 14 10 4

若商店一天購進10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤在區間內的概率.

20.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為e= ，它的一個頂點的座標為(0，﹣1)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)若橢圓C上存在兩個不同的點A、B關於直線y=﹣ x+ 對稱，求△OAB的面積的最大值(O為座標原點).

21.已知函數f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).

(1)若函數f(x)在x=1處的切線方程為y=x﹣1，求實數a，b的值;

(2)在(1)的b下，當a≥2時，討論函數f(x)的零點的個數.

請考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.在直角座標系xoy中，直線l過點M(3，4)，其傾斜角為45°，以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極座標，並使得它與直角座標系xoy有相同的長度單位，圓C的極座標方程為ρ=4sinθ.

(Ⅰ)求直線l的參數方程和圓C的普通方程;

(Ⅱ)設圓C與直線l交於點A、B，求|MA|•|MB|的值.

23.已知函數f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2

(Ⅰ)解不等式f(x)≥0

(Ⅱ)若存在實數x，使得f(x)≤|x|+a，求實數a的取值範圍.

　　2018屆自貢市大學聯考文科數學模擬試卷答案

一、選擇題

1.設集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，則A∪B=(　　)

A.{1，2} B.{0，1，2，3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}

【考點】1D：並集及其運算.

【分析】化簡集合A、B，根據並集的定義寫出A∪B.

【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，

B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，

則A∪B={0，1，2，3}.

故選：B.

2.若從2個濱海城市和2個內陸城市中隨機選取1個取旅遊，那麼恰好選1個濱海城市的概率是(　　)

A. B. C. D.

【考點】CB：古典概型及其概率計算公式.

【分析】先求出基本事件總數n=4，再求出恰好選1個海濱城市包含的基本事件個數m=2，由此能求出恰好選1個海濱城市的概率.

【解答】解：從2個海濱城市和2個內陸城市中隨機選1個去旅遊，

基本事件總數n=4

恰好選1個海濱城市包含的基本事件個數m=2，

恰好選1個海濱城市的概率是p= = .

故選：D.

3.已知複數z=1+i，則 等於(　　)

A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2

【考點】A7：複數代數形式的混合運算.

【分析】複數代入表達式，利用複數乘除運算化簡複數為a+bi的形式即可.

【解答】解：因為複數z=1+i，

所以 = = =﹣ =2i.

故選A.

4.設變量x，y滿足線性約束條件 則目標函數z=2x+4y的最小值是(　　)

A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6

【考點】7C：簡單線性規劃.

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的座標，代入目標函數得答案.

【解答】解：由約束條件 作出可行域如圖，

聯立 ，解得A(3，﹣3)，

化目標函數z=2x+4y為y= x+ ，

由圖可知，當直線y= x+ 過點A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為6﹣12=﹣6，

故選：D.

5.閲讀右邊程序框圖，當輸入的值為3時，運行相應程序，則輸出x的值為(　　)

A.7 B.15 C.31 D.63

【考點】EF：程序框圖.

【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的x，n的值，當n=4時不滿足條件n≤3，退出循環，輸出x的值為31.

【解答】解：模擬程序的運行，可得

x=3，n=1

滿足條件n≤3，執行循環體，x=7，n=2

滿足條件n≤3，執行循環體，x=15，n=3

滿足條件n≤3，執行循環體，x=31，n=4

不滿足條件n≤3，退出循環，輸出x的值為31.

故選：C.

6.已知數列{an}為等差數列，Sn為前n項和，公差為d，若 ﹣ =100，則d的值為(　　)

A. B. C.10 D.20

【考點】85：等差數列的前n項和.

【分析】由等差數列{an}可得： = d= n+ 為等差數列，即可得出.

【解答】解：由等差數列{an}可得： = d= n+ 為等差數列，

∵ ﹣ =100，

∴ + ﹣ =100，

∴10d=1，解得d= .

故選：B.

7.設m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　)

A.若α⊥β，m⊥α，則m∥β B.若m⊥α，n∥α，則m⊥n

C.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關係.

【分析】A：漏掉了m⊂β.B：根據線線垂直的判定可得結論是正確的.C：漏掉了m與n相交、異面的情況.D：可以舉出牆角的例子.

【解答】解：A：直線m也可以在平面β內.

B：根據線線垂直的判定可得結論是正確的.

C：m與n可能平行也可能相交也可能異面.

D：α與β也可以相交.可以舉出牆角的例子.

故選B.

8.設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若sinA=2 sinB， ，則△ABC的面積為(　　)

A. B. C. D.

【考點】HP：正弦定理;HR：餘弦定理.

【分析】根據題意，由正弦定理可得a=2b，進而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16，解可得b的值，進而可得a的值，由三角形面積公式計算可得答案.

【解答】解：根據題意，△ABC中，若sinA=2sinB，則有a=2b，

c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16，

解可得b= ，則a=2b= ，

則S△ABC= absinC= ，

故選：A.

9.給出下列命題：

①函數y=cos( ﹣2x)是偶函數;

②函數y=sin(x+ )在閉區間上是增函數;

③直線x= 是函數y=sin(2x+ )圖象的一條對稱軸;

④將函數y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位，得到函數y=cos2x的圖象，其中正確的命題的個數為(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【考點】HJ：函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.

【分析】利用誘導公式化簡①，然後判斷奇偶性;求出函數y=sin(x+ )的增區間，判斷②的正誤;

直線x= 代入函數y=sin(2x+ )是否取得最值，判斷③的正誤;利用平移求出解析式判斷④的正誤即可.

【解答】解：①函數y=sin( ﹣2x)=sin2x，它是奇函數，不正確;

②函數y=sin(x+ )的單調增區間是，k∈Z，在閉區間上是增函數，正確;

③直線x= 代入函數y=sin(2x+ )=﹣1，所以x= 圖象的一條對稱軸，正確;

④將函數y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位，得到函數y=cos(2x+ )的圖象，所以④不正確.

故選：B.

10.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　)

A. B. C. D. +2

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【分析】如圖所示，該幾何體由兩個三稜錐組成的，利用三角形面積計算公式即可得出.

【解答】解：如圖所示，該幾何體由兩個三稜錐組成的，

該幾何體的表面積S= +1×1+ + +

= .

故選：A.

11.已知函數f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f(a2)+f(a﹣2)>4，則實數a的取值範圍(　　)

A.(﹣∞，1) B.(﹣∞，3) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)

【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合.

【分析】根據題意，令g(x)=f(x)﹣2，則g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g(x)的奇偶性與單調性，則f(a2)+f(a﹣2)>4，可以轉化為g(a2)>﹣g(a﹣2)，結合函數的奇偶性與單調性分析可得a2<2﹣a，解可得a的範圍，即可得答案.

【解答】解：根據題意，令g(x)=f(x)﹣2，

則g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，

g(﹣x)=﹣2(﹣x)5﹣(﹣x)3﹣7(﹣x)=﹣(﹣2x5﹣x3﹣7x)，則g(x)為奇函數，

而g(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x，則g′(x)=﹣10x4﹣2x2﹣7<0，則g(x)為減函數，

若f(a2)+f(a﹣2)>4，則有f(a2)﹣2>﹣，

即g(a2)>﹣g(a﹣2)，

即g(a2)>g(2﹣a)，

則有a2<2﹣a，

解可得﹣2

即a的取值範圍是(﹣2，1);

故選：D.

12.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)，過雙曲線右焦點F傾斜角為 的直線與該雙曲線的漸近線分別交於M、N.若|FM|=2|FN|，則該雙曲線的離心率等於(　　)

A. B. C. 或 D. 或

【考點】KC：雙曲線的簡單性質.

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，討論b>a>0，可得N為FM的.中點.當a>b>0時，可得 =﹣2 ，求出直線MN的方程，聯立漸近線方程可得M，N的座標，求得b=3a或a=3b，再由離心率公式即可得到所求值.

【解答】解：雙曲線C： ﹣ =1的漸近線方程為y=± x，

當b>a>0時，如右圖.

若|FM|=2|FN|，可得N為FM的中點.

由直線MN：y=x﹣c，聯立y= x，可得M( ， )，

由直線MN：y=x﹣c，聯立y=﹣ x，可得N( ，﹣ )，

由F(c，0)，可得﹣ = ，

化簡為b=3a，

即有e= = = = ;

當a>b>0時，如右圖.

若|FM|=2|FN|，可得 =﹣2 ，

由直線MN：y=x﹣c，聯立y= x，可得M( ， )，

由直線MN：y=x﹣c，聯立y=﹣ x，可得N( ，﹣ )，

由F(c，0)，可得 =﹣2•(﹣ )，

化簡為a=3b，

即有e= = = = .

則該雙曲線的離心率等於 或 .

故選：D.

二、填空題

13.設等比數列{an}的公比q= ，前n項和為Sn，則 =　 　.

【考點】8G：等比數列的性質.

【分析】利用等比數列的通項與求和公式，即可求出 .

【解答】解：∵等比數列{an}的公比q= ，

∴S4= = a1，a2= a1，

∴ = = .

故答案為： .

14.已知向量 ， ，其中| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，則向量 ， 的夾角是　 　.

【考點】9R：平面向量數量積的運算.

【分析】利用向量垂直的條件，結合向量數量積公式，即可求向量 ， 的夾角

【解答】解：設向量 ， 的夾角為θ，

∵| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，

∴( + )• = + = +| |•| |cosθ=2+2 cosθ=0，

解得cosθ=﹣ ，

∵0≤θ≤π，

∴θ= ，

故答案為：

15.關於函數f(x)=ln ，有下列三個命題：

①f(x)的定義域為(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞);

②f(x)為奇函數;

③f(x)在定義域上是增函數;

④對任意x1，x2∈(﹣1，1)，都有f(x1)+f(x2)=f( ).

其中真命題有　②④　(寫出所有真命題的番號)

【考點】4N：對數函數的圖象與性質.

【分析】由函數f(x)=ln =ln( )，根據函數的各性質依次判斷各選項即可.

【解答】解：函數f(x)=ln =ln( )，

其定義域滿足：(1﹣x)(1+x)>0，解得：﹣1

由f(﹣x)=ln =ln =ln( )﹣1=﹣ln =﹣f(x)，是奇函數，∴②對.

定義域為{x|﹣1

f(x1)+f(x2)=ln +ln =ln( × )=f( ).∴④對.

故答案為②④

16.如圖所示，一輛裝載集裝箱的載重卡車高為3米，寬為2.2米，欲通過斷面上部為拋物線形，下部為矩形ABCD的隧道.已知拱口寬AB等於拱高EF的4倍，AD=1米.若設拱口寬度為t米，則能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值等於　9　.

【考點】K9：拋物線的應用.

【分析】建立如圖所示的座標系，求出拋物線的方程，即可求出求出能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值.

【解答】解：建立如圖所示的座標系，則B( ，﹣ )，

設拋物線方程為x2=ay，則 ，∴a=﹣t，

∴x2=﹣ty，

由題意，x=1.1，y=﹣

∴﹣ + ≥2，

t=8，﹣ + <2，t=9，﹣ + >2，

∴能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值等於9.

故答案為9.

三、解答題

17.已知函數f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

(Ⅰ)求函數f(x)的最小正週期;

(Ⅱ)求函數f(x)在區間上的最大值.

【考點】HW：三角函數的最值;H1：三角函數的週期性及其求法.

【分析】(Ⅰ)利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用週期公式求函數的最小正週期

(Ⅱ)x∈上時，求出內層函數的取值範圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f(x)的最大值.

【解答】解：函數f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

化簡可得：f(x)=4sinxcosxcos +4sin2xsin +1

= sin2x+1﹣cos2x+1=2sin(2x )+2.

(Ⅰ)∴函數f(x)的最小正週期T= .

(Ⅱ)∵x∈上時，

∴2x ∈

當2x = 時，函數f(x)取得最大值為2× = .

∴函數f(x)在區間上的最大值為 .

18.如圖，圓錐的橫截面為等邊三角形SAB，O為底面圓圓心，Q為底面圓周上一點.

(Ⅰ)如果BQ的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ;

(Ⅱ)如果∠AOQ=60°，QB=2 ，求該圓錐的體積.

【考點】LF：稜柱、稜錐、稜台的體積;LW：直線與平面垂直的判定.

【分析】(Ⅰ)連接OC，AQ，由已知可得OC∥AQ，再由AB為圓的直徑，可得OC⊥BQ，由SO⊥平面ABQ，得SO⊥BQ，由線面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC，進一步得到平面SBQ⊥平面SOC，由面面垂直的性質可OH⊥平面SBQ;

(Ⅱ)由已知求解三角形可得OQ=OA=2，SA=4，則SO= .由已知體積公式求得圓錐的體積.

【解答】(Ⅰ)證明：連接OC，AQ，

∵O為AB的中點，且BQ的中點為C，

∴OC∥AQ，

∵AB為圓的直徑，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，

∵SO⊥平面ABQ，∴SO⊥BQ，

又SO∩OC=O，∴BQ⊥平面SOC，

則平面SBQ⊥平面SOC，

又平面SBQ∩平面SOC=SC，OH⊥SC，

∴OH⊥平面SBQ;

(Ⅱ)解：∵∠AOQ=60°，QB=2 ，∴OC=1，OQ=OA=2，SA=4，

則SO= .

∴圓錐的體積V= .

19.某超市計劃每天購進某商品若干件，該超市每銷售一件該商品可獲利潤80元，若供大於求，剩餘商品全部退回，但每件商品虧損20元;若供不應求，則從外部調劑，此時每件調劑商品可獲利40元.

(Ⅰ)若商店一天購進該商品10件，求當天的利潤y(單位：元)關於當天需求量n(單位：件，n∈N)的函數解析式;

(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件，n∈N)，整理得下表：

日需求量 7 8 9 10 11 12

頻數 5 7 10 14 10 4

若商店一天購進10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤在區間內的概率.

【考點】5D：函數模型的選擇與應用.

【分析】(Ⅰ)分類求出函數解析式，即可得出利潤y關於需求量n的函數解析式;

(Ⅱ)利潤在區間內，日需求量為10、11、12，其對應的頻數分別為14、10、4，即可求出概率.

【解答】解：(Ⅰ)當日需求量n≥10時，

利潤為y=80×10+(n﹣10)×40=40n+400; …

當日需求量n<10時，利潤為y=80n﹣(10﹣n)×20=100n﹣200.…

所以利潤y關於需求量n的函數解析式為y= …

(Ⅱ)50天內有5天獲得的利潤為500元，有7天獲得的利潤為600元，有10天獲得的利潤為700元，有14天獲得的利潤為800元，有10天獲得的利潤為840元，有4天獲得的利潤為880元.…

若利潤在區間內，日需求量為10、11、12，其對應的頻數分別為14、10、4.…

則利潤在區間內的概率為 =0.56. …

20.已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為e= ，它的一個頂點的座標為(0，﹣1)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)若橢圓C上存在兩個不同的點A、B關於直線y=﹣ x+ 對稱，求△OAB的面積的最大值(O為座標原點).

【考點】KL：直線與橢圓的位置關係;K3：橢圓的標準方程.

【分析】(I)由題意可得： = ，b=1，a2=b2+c2，聯立解得a，b，c即可得出.

(II)直線AB的方程為：y=mx+n.與橢圓方程聯立化為：(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0，△>0，可得1+2m2>n2.設A(x1，y1)，B(x2，y2).利用根與係數的關係可得線段AB的中點G ，代入直線y=﹣ x+ ，可得：n=﹣ .利用|AB|= .d= ，可得S△OAB= |AB|•d，再利用二次函數的單調性即可得出.

【解答】解：(I)由題意可得： = ，b=1，a2=b2+c2，

聯立解得a= ，b=c=1.

∴橢圓C的方程為： +y2=1.

(II)直線AB的方程為：y=mx+n.聯立 ，化為：(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0，

△=16m2n2﹣4(1+2m2)(2n2﹣2)>0，

∴1+2m2>n2.

設A(x1，y1)，B(x2，y2).

∴x1+x2= ，x1•x2= ，

∴線段AB的中點G ，代入直線y=﹣ x+ ，可得：n=﹣ .

∴x1+x2=2m，x1•x2= ，

∴|AB|= = •

= • .

d= = .

∴S△OAB= |AB|•d= ×(1+2m2)ו .

令1+2m2=t>1，則S△OAB= =f(t)，(1

當t=1+2m2=2時，即m2= 時，S△OAB的最大值為 .

21.已知函數f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).

(1)若函數f(x)在x=1處的切線方程為y=x﹣1，求實數a，b的值;

(2)在(1)的b下，當a≥2時，討論函數f(x)的零點的個數.

【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程;54：根的存在性及根的個數判斷.

【分析】(1)求出函數f(x)的導數，由已知切線的方程可得f(1)=0，f′(1)=1，解方程可得a，b的值;

(2)求出f(x)的導數，並分解因式，討論a=2，a>2，判斷導數的符號，求得單調區間，由f(1)=0，運用構造函數法，求出導數，判斷單調性，即可得到所求結論.

【解答】解：(1)函數f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b的導數為f′(x)=2ax﹣(a+2)+ ，

可得函數f(x)在x=1處的切線斜率為k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1，

由切線方程y=x﹣1，可得a﹣1=1，解得a=2;

由f(1)=a﹣a﹣2+0+b=0，解得b=2.

(2)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+2(x>0，a≥2)，

導數為f′(x)=2ax﹣(a+2)+ = = ，

當a=2時，f′(x)≥0在(0，+∞)恆成立，f(x)在(0，+∞)遞增，由f(1)=a﹣a﹣2+0+2=0，

可得f(x)此時有一個零點;

當a>2，即0< < 時，由f′(x)>0可得x> 或0

即有f(x)的增區間為(0， )，( ，+∞)，減區間為( ， )，

由f(1)=0，可得f(x)在( ，+∞)有且只有一個零點，且f( )<0.

f( )=1﹣lna﹣ ，設g(x)=1﹣ ﹣lnx(x>2)，g′(x)= <0(x>2)，

可得g(x)在(2，+∞)遞減，可得g(x)

於是f( )<0，f(x)在(0， )無零點，

故a>2時，f(x)有且只有一個零點.

綜上可得，a≥2時，f(x)有且只有一個零點.

請考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.在直角座標系xoy中，直線l過點M(3，4)，其傾斜角為45°，以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極座標，並使得它與直角座標系xoy有相同的長度單位，圓C的極座標方程為ρ=4sinθ.

(Ⅰ)求直線l的參數方程和圓C的普通方程;

(Ⅱ)設圓C與直線l交於點A、B，求|MA|•|MB|的值.

【考點】Q4：簡單曲線的極座標方程.

【分析】(Ⅰ)直線l過點M(3，4)，其傾斜角為45°，參數方程為 ，(t為參數).由極座標與直角座標互化公式代入化簡即可得出圓C的普通方程;

(Ⅱ)直線l的參數方程代入圓方程得 +9=0，利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出.

【解答】解：(Ⅰ)直線l過點M(3，4)，其傾斜角為45°，參數方程為 ，(t為參數).

圓C的極座標方程為ρ=4sinθ，直角座標方程為x2+y2﹣4y=0;

(Ⅱ)將直線的參數方程代入圓方程得： +9=0，

設A、B對應的參數分別為t1、t2，則t1+t2=5 ，t1t2=9，

於是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9.

23.已知函數f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2

(Ⅰ)解不等式f(x)≥0

(Ⅱ)若存在實數x，使得f(x)≤|x|+a，求實數a的取值範圍.

【考點】R5：絕對值不等式的解法.

【分析】(Ⅰ)化簡函數的解析式，分類討論，求得不等式的解集.

(Ⅱ)不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解.根據絕對值的意義可得|x+ |﹣|x|∈，故有 +1≥﹣ ，由此求得a的範圍.

【解答】解：(Ⅰ)函數f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2= ，

當x<﹣ 時，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3.

當﹣ ≤x<0時，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅.

當x≥0時，由x﹣1≥0，求得 x≥1.

綜上可得，不等式的解集為{x|x≤﹣3 或x≥1}.

(Ⅱ)f(x)≤|x|+a，即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解.

由於|x+ |﹣|x|表示數軸上的x對應點到﹣ 對應點的距離減去它到原點的距離，故|x+ |﹣|x|∈，

故有 +1≥﹣ ，求得a≥﹣3.