2018屆自貢市大學聯考數學模擬試卷題目及答案
大學聯考數學主要考察考生,基本計算的準確與速度,通過多做一些模擬試卷將有助於我們的大學聯考數學成績,以下是本站小編為你整理的2018屆自貢市大學聯考數學模擬試卷,希望能幫到你。
2018屆自貢市大學聯考數學模擬試卷題目一、選擇題
1.設集合A={x∈N|,0≤x≤2},B={x∈N|1≤x≤3},則A∪B=( )
A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}
2.若從2個濱海城市和2個內陸城市中隨機選取1個取旅遊,那麼恰好選1個濱海城市的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知複數z=1+i,則 等於( )
A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2
4.設變量x,y滿足線性約束條件 則目標函數z=2x+4y的最小值是( )
A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6
5.閲讀右邊程序框圖,當輸入的值為3時,運行相應程序,則輸出x的值為( )
A.7 B.15 C.31 D.63
6.已知數列{an}為等差數列,Sn為前n項和,公差為d,若 ﹣ =100,則d的值為( )
A. B. C.10 D.20
7.設m、n是兩條不同的直線,α、β、γ是三個不同的平面,則下列命題中正確的是( )
A.若α⊥β,m⊥α,則m∥β B.若m⊥α,n∥α,則m⊥n
C.若m∥α,n∥α,則m∥n D.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β
8.設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若sinA=2 sinB, ,則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.
9.給出下列命題:
①函數y=cos( ﹣2x)是偶函數;
②函數y=sin(x+ )在閉區間上是增函數;
③直線x= 是函數y=sin(2x+ )圖象的一條對稱軸;
④將函數y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位,得到函數y=cos2x的圖象,其中正確的命題的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A. B. C. D. +2
11.已知函數f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2,若f(a2)+f(a﹣2)>4,則實數a的取值範圍( )
A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,3) C.(﹣1,2) D.(﹣2,1)
12.已知雙曲線C: ﹣ =1(a>0,b>0),過雙曲線右焦點F傾斜角為 的直線與該雙曲線的漸近線分別交於M、N.若|FM|=2|FN|,則該雙曲線的離心率等於( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空題
13.設等比數列{an}的公比q= ,前n項和為Sn,則 = .
14.已知向量 , ,其中| |= ,| |=2,且( + )⊥ ,則向量 , 的夾角是 .
15.關於函數f(x)=ln ,有下列三個命題:
①f(x)的定義域為(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞);
②f(x)為奇函數;
③f(x)在定義域上是增函數;
④對任意x1,x2∈(﹣1,1),都有f(x1)+f(x2)=f( ).
其中真命題有 (寫出所有真命題的番號)
16.如圖所示,一輛裝載集裝箱的載重卡車高為3米,寬為2.2米,欲通過斷面上部為拋物線形,下部為矩形ABCD的隧道.已知拱口寬AB等於拱高EF的4倍,AD=1米.若設拱口寬度為t米,則能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值等於 .
三、解答題
17.已知函數f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.
(Ⅰ)求函數f(x)的最小正週期;
(Ⅱ)求函數f(x)在區間上的最大值.
18.如圖,圓錐的橫截面為等邊三角形SAB,O為底面圓圓心,Q為底面圓周上一點.
(Ⅰ)如果BQ的中點為C,OH⊥SC,求證:OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)如果∠AOQ=60°,QB=2 ,求該圓錐的體積.
19.某超市計劃每天購進某商品若干件,該超市每銷售一件該商品可獲利潤80元,若供大於求,剩餘商品全部退回,但每件商品虧損20元;若供不應求,則從外部調劑,此時每件調劑商品可獲利40元.
(Ⅰ)若商店一天購進該商品10件,求當天的利潤y(單位:元)關於當天需求量n(單位:件,n∈N)的函數解析式;
(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位:件,n∈N),整理得下表:
日需求量 7 8 9 10 11 12
頻數 5 7 10 14 10 4
若商店一天購進10件該商品,以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率,求當天的利潤在區間內的概率.
20.已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為e= ,它的一個頂點的座標為(0,﹣1)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C上存在兩個不同的點A、B關於直線y=﹣ x+ 對稱,求△OAB的面積的最大值(O為座標原點).
21.已知函數f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).
(1)若函數f(x)在x=1處的切線方程為y=x﹣1,求實數a,b的值;
(2)在(1)的b下,當a≥2時,討論函數f(x)的零點的個數.
請考生在22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.
22.在直角座標系xoy中,直線l過點M(3,4),其傾斜角為45°,以原點為極點,以x正半軸為極軸建立極座標,並使得它與直角座標系xoy有相同的長度單位,圓C的極座標方程為ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求直線l的參數方程和圓C的普通方程;
(Ⅱ)設圓C與直線l交於點A、B,求|MA|•|MB|的值.
23.已知函數f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2
(Ⅰ)解不等式f(x)≥0
(Ⅱ)若存在實數x,使得f(x)≤|x|+a,求實數a的取值範圍.
2018屆自貢市大學聯考數學模擬試卷答案一、選擇題
1.設集合A={x∈N|,0≤x≤2},B={x∈N|1≤x≤3},則A∪B=( )
A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}
【考點】1D:並集及其運算.
【分析】化簡集合A、B,根據並集的定義寫出A∪B.
【解答】解:集合A={x∈N|,0≤x≤2}={0,1,2},
B={x∈N|1≤x≤3}={1,2,3},
則A∪B={0,1,2,3}.
故選:B.
2.若從2個濱海城市和2個內陸城市中隨機選取1個取旅遊,那麼恰好選1個濱海城市的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】CB:古典概型及其概率計算公式.
【分析】先求出基本事件總數n=4,再求出恰好選1個海濱城市包含的基本事件個數m=2,由此能求出恰好選1個海濱城市的概率.
【解答】解:從2個海濱城市和2個內陸城市中隨機選1個去旅遊,
基本事件總數n=4
恰好選1個海濱城市包含的基本事件個數m=2,
恰好選1個海濱城市的概率是p= = .
故選:D.
3.已知複數z=1+i,則 等於( )
A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2
【考點】A7:複數代數形式的混合運算.
【分析】複數代入表達式,利用複數乘除運算化簡複數為a+bi的形式即可.
【解答】解:因為複數z=1+i,
所以 = = =﹣ =2i.
故選A.
4.設變量x,y滿足線性約束條件 則目標函數z=2x+4y的最小值是( )
A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6
【考點】7C:簡單線性規劃.
【分析】由約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優解,聯立方程組求得最優解的座標,代入目標函數得答案.
【解答】解:由約束條件 作出可行域如圖,
聯立 ,解得A(3,﹣3),
化目標函數z=2x+4y為y= x+ ,
由圖可知,當直線y= x+ 過點A時,直線在y軸上的截距最小,z有最小值為6﹣12=﹣6,
故選:D.
5.閲讀右邊程序框圖,當輸入的值為3時,運行相應程序,則輸出x的值為( )
A.7 B.15 C.31 D.63
【考點】EF:程序框圖.
【分析】模擬程序的運行,依次寫出每次循環得到的x,n的值,當n=4時不滿足條件n≤3,退出循環,輸出x的值為31.
【解答】解:模擬程序的運行,可得
x=3,n=1
滿足條件n≤3,執行循環體,x=7,n=2
滿足條件n≤3,執行循環體,x=15,n=3
滿足條件n≤3,執行循環體,x=31,n=4
不滿足條件n≤3,退出循環,輸出x的值為31.
故選:C.
6.已知數列{an}為等差數列,Sn為前n項和,公差為d,若 ﹣ =100,則d的值為( )
A. B. C.10 D.20
【考點】85:等差數列的前n項和.
【分析】由等差數列{an}可得: = d= n+ 為等差數列,即可得出.
【解答】解:由等差數列{an}可得: = d= n+ 為等差數列,
∵ ﹣ =100,
∴ + ﹣ =100,
∴10d=1,解得d= .
故選:B.
7.設m、n是兩條不同的直線,α、β、γ是三個不同的平面,則下列命題中正確的是( )
A.若α⊥β,m⊥α,則m∥β B.若m⊥α,n∥α,則m⊥n
C.若m∥α,n∥α,則m∥n D.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β
【考點】LP:空間中直線與平面之間的位置關係.
【分析】A:漏掉了m⊂β.B:根據線線垂直的判定可得結論是正確的.C:漏掉了m與n相交、異面的情況.D:可以舉出牆角的例子.
【解答】解:A:直線m也可以在平面β內.
B:根據線線垂直的判定可得結論是正確的.
C:m與n可能平行也可能相交也可能異面.
D:α與β也可以相交.可以舉出牆角的例子.
故選B.
8.設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若sinA=2 sinB, ,則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.
【考點】HP:正弦定理;HR:餘弦定理.
【分析】根據題意,由正弦定理可得a=2b,進而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16,解可得b的值,進而可得a的值,由三角形面積公式計算可得答案.
【解答】解:根據題意,△ABC中,若sinA=2sinB,則有a=2b,
c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16,
解可得b= ,則a=2b= ,
則S△ABC= absinC= ,
故選:A.
9.給出下列命題:
①函數y=cos( ﹣2x)是偶函數;
②函數y=sin(x+ )在閉區間上是增函數;
③直線x= 是函數y=sin(2x+ )圖象的一條對稱軸;
④將函數y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位,得到函數y=cos2x的圖象,其中正確的命題的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】HJ:函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.
【分析】利用誘導公式化簡①,然後判斷奇偶性;求出函數y=sin(x+ )的增區間,判斷②的正誤;
直線x= 代入函數y=sin(2x+ )是否取得最值,判斷③的正誤;利用平移求出解析式判斷④的正誤即可.
【解答】解:①函數y=sin( ﹣2x)=sin2x,它是奇函數,不正確;
②函數y=sin(x+ )的單調增區間是,k∈Z,在閉區間上是增函數,正確;
③直線x= 代入函數y=sin(2x+ )=﹣1,所以x= 圖象的一條對稱軸,正確;
④將函數y=cos(2x﹣ )的圖象向左平移 單位,得到函數y=cos(2x+ )的圖象,所以④不正確.
故選:B.
10.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A. B. C. D. +2
【考點】L!:由三視圖求面積、體積.
【分析】如圖所示,該幾何體由兩個三稜錐組成的,利用三角形面積計算公式即可得出.
【解答】解:如圖所示,該幾何體由兩個三稜錐組成的,
該幾何體的表面積S= +1×1+ + +
= .
故選:A.
11.已知函數f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2,若f(a2)+f(a﹣2)>4,則實數a的取值範圍( )
A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,3) C.(﹣1,2) D.(﹣2,1)
【考點】3N:奇偶性與單調性的綜合.
【分析】根據題意,令g(x)=f(x)﹣2,則g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x,分析可得g(x)的奇偶性與單調性,則f(a2)+f(a﹣2)>4,可以轉化為g(a2)>﹣g(a﹣2),結合函數的奇偶性與單調性分析可得a2<2﹣a,解可得a的範圍,即可得答案.
【解答】解:根據題意,令g(x)=f(x)﹣2,
則g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x,
g(﹣x)=﹣2(﹣x)5﹣(﹣x)3﹣7(﹣x)=﹣(﹣2x5﹣x3﹣7x),則g(x)為奇函數,
而g(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x,則g′(x)=﹣10x4﹣2x2﹣7<0,則g(x)為減函數,
若f(a2)+f(a﹣2)>4,則有f(a2)﹣2>﹣,
即g(a2)>﹣g(a﹣2),
即g(a2)>g(2﹣a),
則有a2<2﹣a,
解可得﹣2
即a的取值範圍是(﹣2,1);
故選:D.
12.已知雙曲線C: ﹣ =1(a>0,b>0),過雙曲線右焦點F傾斜角為 的直線與該雙曲線的漸近線分別交於M、N.若|FM|=2|FN|,則該雙曲線的離心率等於( )
A. B. C. 或 D. 或
【考點】KC:雙曲線的簡單性質.
【分析】求出雙曲線的漸近線方程,討論b>a>0,可得N為FM的中點.當a>b>0時,可得 =﹣2 ,求出直線MN的`方程,聯立漸近線方程可得M,N的座標,求得b=3a或a=3b,再由離心率公式即可得到所求值.
【解答】解:雙曲線C: ﹣ =1的漸近線方程為y=± x,
當b>a>0時,如右圖.
若|FM|=2|FN|,可得N為FM的中點.
由直線MN:y=x﹣c,聯立y= x,可得M( , ),
由直線MN:y=x﹣c,聯立y=﹣ x,可得N( ,﹣ ),
由F(c,0),可得﹣ = ,
化簡為b=3a,
即有e= = = = ;
當a>b>0時,如右圖.
若|FM|=2|FN|,可得 =﹣2 ,
由直線MN:y=x﹣c,聯立y= x,可得M( , ),
由直線MN:y=x﹣c,聯立y=﹣ x,可得N( ,﹣ ),
由F(c,0),可得 =﹣2•(﹣ ),
化簡為a=3b,
即有e= = = = .
則該雙曲線的離心率等於 或 .
故選:D.
二、填空題
13.設等比數列{an}的公比q= ,前n項和為Sn,則 = .
【考點】8G:等比數列的性質.
【分析】利用等比數列的通項與求和公式,即可求出 .
【解答】解:∵等比數列{an}的公比q= ,
∴S4= = a1,a2= a1,
∴ = = .
故答案為: .
14.已知向量 , ,其中| |= ,| |=2,且( + )⊥ ,則向量 , 的夾角是 .
【考點】9R:平面向量數量積的運算.
【分析】利用向量垂直的條件,結合向量數量積公式,即可求向量 , 的夾角
【解答】解:設向量 , 的夾角為θ,
∵| |= ,| |=2,且( + )⊥ ,
∴( + )• = + = +| |•| |cosθ=2+2 cosθ=0,
解得cosθ=﹣ ,
∵0≤θ≤π,
∴θ= ,
故答案為:
15.關於函數f(x)=ln ,有下列三個命題:
①f(x)的定義域為(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞);
②f(x)為奇函數;
③f(x)在定義域上是增函數;
④對任意x1,x2∈(﹣1,1),都有f(x1)+f(x2)=f( ).
其中真命題有 ②④ (寫出所有真命題的番號)
【考點】4N:對數函數的圖象與性質.
【分析】由函數f(x)=ln =ln( ),根據函數的各性質依次判斷各選項即可.
【解答】解:函數f(x)=ln =ln( ),
其定義域滿足:(1﹣x)(1+x)>0,解得:﹣1
由f(﹣x)=ln =ln =ln( )﹣1=﹣ln =﹣f(x),是奇函數,∴②對.
定義域為{x|﹣1
f(x1)+f(x2)=ln +ln =ln( × )=f( ).∴④對.
故答案為②④
16.如圖所示,一輛裝載集裝箱的載重卡車高為3米,寬為2.2米,欲通過斷面上部為拋物線形,下部為矩形ABCD的隧道.已知拱口寬AB等於拱高EF的4倍,AD=1米.若設拱口寬度為t米,則能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值等於 9 .
【考點】K9:拋物線的應用.
【分析】建立如圖所示的座標系,求出拋物線的方程,即可求出求出能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值.
【解答】解:建立如圖所示的座標系,則B( ,﹣ ),
設拋物線方程為x2=ay,則 ,∴a=﹣t,
∴x2=﹣ty,
由題意,x=1.1,y=﹣
∴﹣ + ≥2,
t=8,﹣ + <2,t=9,﹣ + >2,
∴能使載重卡車通過隧道時t的最小整數值等於9.
故答案為9.
三、解答題
17.已知函數f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.
(Ⅰ)求函數f(x)的最小正週期;
(Ⅱ)求函數f(x)在區間上的最大值.
【考點】HW:三角函數的最值;H1:三角函數的週期性及其求法.
【分析】(Ⅰ)利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用週期公式求函數的最小正週期
(Ⅱ)x∈上時,求出內層函數的取值範圍,結合三角函數的圖象和性質,求出f(x)的最大值.
【解答】解:函數f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.
化簡可得:f(x)=4sinxcosxcos +4sin2xsin +1
= sin2x+1﹣cos2x+1=2sin(2x )+2.
(Ⅰ)∴函數f(x)的最小正週期T= .
(Ⅱ)∵x∈上時,
∴2x ∈
當2x = 時,函數f(x)取得最大值為2× = .
∴函數f(x)在區間上的最大值為 .
18.如圖,圓錐的橫截面為等邊三角形SAB,O為底面圓圓心,Q為底面圓周上一點.
(Ⅰ)如果BQ的中點為C,OH⊥SC,求證:OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)如果∠AOQ=60°,QB=2 ,求該圓錐的體積.
【考點】LF:稜柱、稜錐、稜台的體積;LW:直線與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)連接OC,AQ,由已知可得OC∥AQ,再由AB為圓的直徑,可得OC⊥BQ,由SO⊥平面ABQ,得SO⊥BQ,由線面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC,進一步得到平面SBQ⊥平面SOC,由面面垂直的性質可OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)由已知求解三角形可得OQ=OA=2,SA=4,則SO= .由已知體積公式求得圓錐的體積.
【解答】(Ⅰ)證明:連接OC,AQ,
∵O為AB的中點,且BQ的中點為C,
∴OC∥AQ,
∵AB為圓的直徑,∠AQB=90°,∴OC⊥BQ,
∵SO⊥平面ABQ,∴SO⊥BQ,
又SO∩OC=O,∴BQ⊥平面SOC,
則平面SBQ⊥平面SOC,
又平面SBQ∩平面SOC=SC,OH⊥SC,
∴OH⊥平面SBQ;
(Ⅱ)解:∵∠AOQ=60°,QB=2 ,∴OC=1,OQ=OA=2,SA=4,
則SO= .
∴圓錐的體積V= .
19.某超市計劃每天購進某商品若干件,該超市每銷售一件該商品可獲利潤80元,若供大於求,剩餘商品全部退回,但每件商品虧損20元;若供不應求,則從外部調劑,此時每件調劑商品可獲利40元.
(Ⅰ)若商店一天購進該商品10件,求當天的利潤y(單位:元)關於當天需求量n(單位:件,n∈N)的函數解析式;
(Ⅱ)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位:件,n∈N),整理得下表:
日需求量 7 8 9 10 11 12
頻數 5 7 10 14 10 4
若商店一天購進10件該商品,以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率,求當天的利潤在區間內的概率.
【考點】5D:函數模型的選擇與應用.
【分析】(Ⅰ)分類求出函數解析式,即可得出利潤y關於需求量n的函數解析式;
(Ⅱ)利潤在區間內,日需求量為10、11、12,其對應的頻數分別為14、10、4,即可求出概率.
【解答】解:(Ⅰ)當日需求量n≥10時,
利潤為y=80×10+(n﹣10)×40=40n+400; …
當日需求量n<10時,利潤為y=80n﹣(10﹣n)×20=100n﹣200.…
所以利潤y關於需求量n的函數解析式為y= …
(Ⅱ)50天內有5天獲得的利潤為500元,有7天獲得的利潤為600元,有10天獲得的利潤為700元,有14天獲得的利潤為800元,有10天獲得的利潤為840元,有4天獲得的利潤為880元.…
若利潤在區間內,日需求量為10、11、12,其對應的頻數分別為14、10、4.…
則利潤在區間內的概率為 =0.56. …
20.已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為e= ,它的一個頂點的座標為(0,﹣1)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C上存在兩個不同的點A、B關於直線y=﹣ x+ 對稱,求△OAB的面積的最大值(O為座標原點).
【考點】KL:直線與橢圓的位置關係;K3:橢圓的標準方程.
【分析】(I)由題意可得: = ,b=1,a2=b2+c2,聯立解得a,b,c即可得出.
(II)直線AB的方程為:y=mx+n.與橢圓方程聯立化為:(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0,△>0,可得1+2m2>n2.設A(x1,y1),B(x2,y2).利用根與係數的關係可得線段AB的中點G ,代入直線y=﹣ x+ ,可得:n=﹣ .利用|AB|= .d= ,可得S△OAB= |AB|•d,再利用二次函數的單調性即可得出.
【解答】解:(I)由題意可得: = ,b=1,a2=b2+c2,
聯立解得a= ,b=c=1.
∴橢圓C的方程為: +y2=1.
(II)直線AB的方程為:y=mx+n.聯立 ,化為:(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0,
△=16m2n2﹣4(1+2m2)(2n2﹣2)>0,
∴1+2m2>n2.
設A(x1,y1),B(x2,y2).
∴x1+x2= ,x1•x2= ,
∴線段AB的中點G ,代入直線y=﹣ x+ ,可得:n=﹣ .
∴x1+x2=2m,x1•x2= ,
∴|AB|= = •
= • .
d= = .
∴S△OAB= |AB|•d= ×(1+2m2)ו .
令1+2m2=t>1,則S△OAB= =f(t),(1
當t=1+2m2=2時,即m2= 時,S△OAB的最大值為 .
21.已知函數f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).
(1)若函數f(x)在x=1處的切線方程為y=x﹣1,求實數a,b的值;
(2)在(1)的b下,當a≥2時,討論函數f(x)的零點的個數.
【考點】6H:利用導數研究曲線上某點切線方程;54:根的存在性及根的個數判斷.
【分析】(1)求出函數f(x)的導數,由已知切線的方程可得f(1)=0,f′(1)=1,解方程可得a,b的值;
(2)求出f(x)的導數,並分解因式,討論a=2,a>2,判斷導數的符號,求得單調區間,由f(1)=0,運用構造函數法,求出導數,判斷單調性,即可得到所求結論.
【解答】解:(1)函數f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b的導數為f′(x)=2ax﹣(a+2)+ ,
可得函數f(x)在x=1處的切線斜率為k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1,
由切線方程y=x﹣1,可得a﹣1=1,解得a=2;
由f(1)=a﹣a﹣2+0+b=0,解得b=2.
(2)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+2(x>0,a≥2),
導數為f′(x)=2ax﹣(a+2)+ = = ,
當a=2時,f′(x)≥0在(0,+∞)恆成立,f(x)在(0,+∞)遞增,由f(1)=a﹣a﹣2+0+2=0,
可得f(x)此時有一個零點;
當a>2,即0< < 時,由f′(x)>0可得x> 或0
即有f(x)的增區間為(0, ),( ,+∞),減區間為( , ),
由f(1)=0,可得f(x)在( ,+∞)有且只有一個零點,且f( )<0.
f( )=1﹣lna﹣ ,設g(x)=1﹣ ﹣lnx(x>2),g′(x)= <0(x>2),
可得g(x)在(2,+∞)遞減,可得g(x)
於是f( )<0,f(x)在(0, )無零點,
故a>2時,f(x)有且只有一個零點.
綜上可得,a≥2時,f(x)有且只有一個零點.
請考生在22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.
22.在直角座標系xoy中,直線l過點M(3,4),其傾斜角為45°,以原點為極點,以x正半軸為極軸建立極座標,並使得它與直角座標系xoy有相同的長度單位,圓C的極座標方程為ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求直線l的參數方程和圓C的普通方程;
(Ⅱ)設圓C與直線l交於點A、B,求|MA|•|MB|的值.
【考點】Q4:簡單曲線的極座標方程.
【分析】(Ⅰ)直線l過點M(3,4),其傾斜角為45°,參數方程為 ,(t為參數).由極座標與直角座標互化公式代入化簡即可得出圓C的普通方程;
(Ⅱ)直線l的參數方程代入圓方程得 +9=0,利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)直線l過點M(3,4),其傾斜角為45°,參數方程為 ,(t為參數).
圓C的極座標方程為ρ=4sinθ,直角座標方程為x2+y2﹣4y=0;
(Ⅱ)將直線的參數方程代入圓方程得: +9=0,
設A、B對應的參數分別為t1、t2,則t1+t2=5 ,t1t2=9,
於是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9.
23.已知函數f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2
(Ⅰ)解不等式f(x)≥0
(Ⅱ)若存在實數x,使得f(x)≤|x|+a,求實數a的取值範圍.
【考點】R5:絕對值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)化簡函數的解析式,分類討論,求得不等式的解集.
(Ⅱ)不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①,由題意可得,不等式①有解.根據絕對值的意義可得|x+ |﹣|x|∈,故有 +1≥﹣ ,由此求得a的範圍.
【解答】解:(Ⅰ)函數f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2= ,
當x<﹣ 時,由﹣x﹣3≥0,可得x≤﹣3.
當﹣ ≤x<0時,由3x﹣1≥0,求得 x∈∅.
當x≥0時,由x﹣1≥0,求得 x≥1.
綜上可得,不等式的解集為{x|x≤﹣3 或x≥1}.
(Ⅱ)f(x)≤|x|+a,即|x+ |﹣|x|≤ +1①,由題意可得,不等式①有解.
由於|x+ |﹣|x|表示數軸上的x對應點到﹣ 對應點的距離減去它到原點的距離,故|x+ |﹣|x|∈,
故有 +1≥﹣ ,求得a≥﹣3.
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