五年級奧數題及答案-抽屜原理問題
編者小語:奧數題往往從結構到解法都充滿着神奇的魅力,易於國小生嚐到探索的樂趣,而在探索解題方法的過程中,國小生又親身體驗到數學思想的博大精深和數學方法的創造力,因此對學習數學產生進一步的嚮往。
例7 證明:在任取的5個自然數中,必有3個數,它們的和是3的倍數。
分析與解答 按照被3除所得的餘數,把全體自然數分成3個剩餘類,即構成3個抽屜.如果任選的5個自然數中,至少有3個數在同一個抽屜,那麼這3個數除以3得到相同的餘數r,所以它們的和一定是3的倍數(3r被3整除)。
如果每個抽屜至多有2個選定的數,那麼5個數在3個抽屜中的分配必為1個,2個,2個,即3個抽屜中都有選定的數.在每個抽屜中各取1個數,那麼這3個數除以3得到的.餘數分別為0、1、2.因此,它們的和也一定能被3整除(0+1+2被3整除)。
例8 某校校慶,來了n位校友,彼此認識的握手問候.請你證明無論什麼情況,在這n個校友中至少有兩人握手的次數一樣多。
分析與解答 共有n位校友,每個人握手的次數最少是0次,即這個人與其他校友都沒有握過手;最多有n-1次,即這個人與每位到會校友都握了手.校友人數與握手次數的不同情況(0,1,2,…,n-1)數都是n,還無法用抽屜原理。
然而,如果有一個校友握手的次數是0次,那麼握手次數最多的不能多於n-2次;如果有一個校友握手的次數是n-1次,那麼握手次數最少的不能少於1次.不管是前一種狀態0、1、2、…、n-2,還是後一種狀態1、2、3、…、n-1,握手次數都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜,到會的n個校友每人按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”,根據抽屜原理,至少有兩個人屬於同一抽屜,則這兩個人握手的次數一樣多。
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