單位圓與正弦函數教案
1 單位圓與正弦函數
在國中,我們學習了鋭角α的正弦函數值:sinα= ,如圖:sinA= ,由於a是直角邊,c是斜邊,所sinA∈(0,1)。由於我們通常都是將角放到平面直角座標系中,我們來看看會發生什麼?
在直角座標系中,(如圖所示),設角α(α∈(0, ))的終邊與半經為r的圓交於點P(a,b),則角α的正弦值是:sinα= .根據相似三角形的知識可知,對於確定的角α, 都不會隨圓的半經的改變而改變。為簡單起見,令r=1(即為單位圓),那麼sinα=b,也就是説,若角α的終邊與單位圓相交於P,則點P的縱座標b就是角α的正弦函數。
直角三角形顯然不能包含所有的角,那麼,我們可以仿照鋭角正弦函數的定義.你認為該如何定義任意角的正弦函數?
一般地,在直角座標系中(如上圖),對任意角α,它的終邊與單位圓交於點P(a,b),我們可以唯一確定點P(a,b)的縱座標b,所以P點的縱座標b是角α的函數,稱為正弦函數,記作=sinα(α∈R)。通常我們用x,分別表示自變量與因變量,將正弦函數表示為=sinx.正弦函數值有時也叫正弦值.
請同學們畫圖,並利用正弦函數的定義比較説明: 角與 角的終邊與單位圓的交點的縱座標有什麼關係?它們的正弦值有什麼關係? 角和 角呢?- 角和 角呢?- 角和- 角呢?
sin =sin = sin =-sin =-
Sin(- )=sin( )= sin(- )=sin(- )=
通過上述問題的討論,容易得到:終邊相同的角的正弦函數值相等,即
sin(2π+α)=sinα (∈Z),説明對於任意一個角α,每增加2π的整數倍,其正弦函數值不變。所以,正弦函數是隨角的.變化而週期性變化的,正弦函數是周期函數,2π(∈Z,≠0)為正弦函數的週期。
2π是正弦函數的正周期中最小的一個,稱為最小正週期。一般地,對於周期函數f(x),如果它所有的週期中存在一個最小的正數,那麼這個最小的正數就叫作f(x)的最小正週期。
【鞏固深化,發展思維】
1.若點P(—3,)是α終邊上一點,且sinα=— ,求值.【 】
2.若角α的頂點為座標原點,始邊與x軸正半軸重合,終邊在函數=—3x (x≤0)的圖像上,則sinα= 。【 】
(三)、歸納整理,整體認識:
(1)請學生回顧本節課所學過的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學思想方法有那些?
(2)在本節課的學習過程中,還有那些不太明白的地方,請向老師提出。
(3)你在這節課中的表現怎樣?你的體會是什麼?
(四)、作業佈置:1、已知鋭角 終邊上一點 (3,4),求 角的正弦值。
2、已知 是角 終邊上一點,求 的值。
3、已知角 的終邊落在直線 上,求 的值。
4、若實數 , 滿足 ,求: 的值。
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