國中奧數答案參考

例1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高

求證：DC=AB+BD

分析一：用分解法，把DC分成兩部分，分別證與AB，BD相等。

可以高AD為軸作△ADB的對稱三角形△ADE，再證EC=AE。

∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C

輔助線是在DC上取DE=DB，連結AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一線段，證它與DC相等。

仍然以高AD為軸，作出DC的對稱線段DF。

為便於證明，輔助線用延長DB到F，使BF=AB，連結AF，則可得

∠ABD=2∠F=2∠C。

例2.已知：△ABC中，兩條高AD和BE相交於H，兩條邊BC和AC的中垂線相交於O，垂足是M，N

求證：AH=2MO， BH=2NO

證明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)

連結並延長CO到G使OG=CO連結AG，BG

則BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO

∴四邊形AGBH是平行四邊形，

∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO

證明二：(折半法――作出AH，BH的一半)

分別取AH，BH的中點F，G連結FG，MN

則FG=MN= AB，FG∥MN∥AB

又∵OM∥AD，

∴∠OMN=∠HGF(兩邊分別平行的兩鋭角相等)

同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……

例3. 已知：在正方形ABCD中，點E在AB上且CE=AD+AE，F是AB的中點

求證：∠DCE=2∠BCF

分析：本題顯然應着重考慮如何發揮CE=AD+AE條件的作用，如果只想用加倍法或折半法，則脱離題設的條件，難以見效。

我們可將AE(它的等量DG)加在正方形邊CD的延長線上(如左圖)也可以把正方形的'邊CD(它的等量AG)加在AE的延長線上(如右圖)後一種想法更容易些。

輔助線如圖，證明(略)自己完成

例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分線相交於I，

求證：∠BIC=90 + ∠A

證明一：(由左到右)

∠BIC=180 -(∠1+∠2)=180 - (∠ABC+∠ACB)

=180 - (∠ABC+∠ACB+∠A)+ ∠A

=90 + ∠A

證明二：(左邊-右邊=0)

∠BIC-(90 + ∠A)

=180 - (∠ABC+∠ACB)-90 - ∠A

=90 - (∠ABC+∠ACB+∠A)=……

證明三：(從已知的等式出發，進行恆等變形)

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180 ∴∠A=180 -(∠ABC+∠ACB)

∠A=90 - (∠ABC+∠ACB)

90 + ∠A=180 - (∠ABC+∠ACB)，即∠BIC=90 + ∠A