如何用多种数学思想方法巧解一道大学联考题
文章摘要:数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题,本文选取一个小小的选择题,竟涵盖着多种种数学思想!…
数学才子参加了高三班的元旦晚会,在热烈的掌声中才子登台唱歌,歌词是:
函数方程不可分数形结合好传神等价转换繁归简分类讨论整化零……
有人说:数学思想只供唱,数学题目是硬仗!
才子听见了,接着唱他的:
硬仗何必枉费力,问题深处藏玄机,思想方法运用好,一指点破无难题。
又有人说:有的题目很简单,搬动思想太麻烦!你看,数学园地上的这道小考题,有什么数学思想值得说的呢?
才子抬头一看,原来是2007年全国卷数学甲卷的第6题:
不等式的解集是
A.(-2,1) B.(2,∞)
C.(-2,1)∪(2,∞) D.(-∞,1)∪(2,∞)
才子唱道:
此题说小也不小,思想划线分拙巧,拙解需要三分钟,巧解只需二十秒!
满场活跃,才子问,你们要我用哪种思想解题?
比如“等价转换思想”!
才子手一挥!那好办,原不等式等价于不等式(x-1)(x2-4)>0.
大家一惊:这个整式不等式能与分式不等式等价吗?再一看,的确是的精彩!
有人接着问:函数方程思想呢?
才子答:就在这里,令f(x)=(x-1)(x2-4)
解不等式(x-1)(x2-4)>0实为求函数f(x)的正值区间。
而解这个不等式,操作上是先解方程(x-1)(x2-4)=0
至此,问者连连点头:不错,不错,函数,方程,还有不等式,三位一体。
有人追问,数形结合思想,在这里如何体现?
才子答,让我顺手牵来!画出如下的数轴根序图:
这就是本题的数形结合!
有人再追问:分类讨论思想呢?
才子点头:分类讨论是解分式不等式的基本思想。
原不等式化归如下两不等式组来解:
这就是分类讨论思想的操作!
至此,大家很满意,一个小小的选择题,竟涵盖着这么丰富的数学思想。有思想和无思想的人,对本题的理解程度和操作艺术,自然不在同一个层上。然而,才子的`“思想”还没有完:你们看如下的解法,属哪个数学思想的范畴?
令x=0,它是原不等式的解,由此淘汰B和D.
令x=3,它也是原不等式的解,由此淘汰A.
因此,本题的答案是C.
有人抢答,这是“一般特殊思想”的体现,特值法解选择题就是这种思想的运用。
这时,场上更活跃,并出现了争论,对第6种数学思想-有限无限思想,在本题中,有体现吗?
有的说有,有的说没有,要求才子作裁判。
才子笑着说:一种数学思想,如果没有普遍性,他还称得上“思想”吗?
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