数的整除数论奥数知识讲解及习题
一、基本概念和符号:
1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
二、整除判断方法:
1。能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。
2。能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3。能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4。能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。
5。能被7整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6。能被11整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的.数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7。能被13整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质:
1。如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a—b)也能被c整除。
2。如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3。如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4。如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题:
在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?
解:如果56□2能被9整除,那么
5+6+□+2=13+□
应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;
如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;
如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。
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