整數的裂項與拆分六年級奧數數論題
若干只同樣的盒子排成一列,小聰把42個同樣的小球放在這些盒子裏然後外出,小明從每支盒子裏取出一個小球,然後把這些小球再放到小球數最少的盒子裏去.再把盒子重排了一下.小聰回來,仔細查看,沒有發現有人動過小球和盒子.問:一共有多少隻盒子?
分析:設原來小球數最少的盒子裏裝有a只小球,現在增加了b只,由於小聰沒有發現有人動過小球和盒子,這説明現在又有了一隻裝有a個小球的盒子,而這隻盒子裏原來裝有(a+1)個小球.
同樣,現在另有一個盒子裝有(a+1)個小球,這隻盒子裏原來裝有(a+2)個小球.
類推,原來還有一隻盒子裝有(a+3)個小球,(a+4)個小球等等,故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續整數.
所以將42分拆成若干個連續整數的和,一共有多少種分法,每一種分法有多少個加數,據此解答.
解:設原來小球數最少的盒子裏裝有a只小球,現在增加了b只,由於小聰沒有發現有人動過小球和盒子,
這説明現在又有了一隻裝有a個小球的.盒子,而這隻盒子裏原來裝有(a+1)個小球.
同樣,現在另有一個盒子裝有(a+1)個小球,這隻盒子裏原來裝有(a+2)個小球.
類推,原來還有一隻盒子裝有(a+3)個小球,(a+4)個小球等等,
故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續整數.
將42分拆成若干個連續整數的和,
因為42=6×7,故可以看成7個6的和,又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個6,從而42=3+4+5+6+7+8+9,一共有7個加數;
又因為42=14×3,故可將42:13+14+15,一共有3個加數;
又因為42=21×2,故可將42=9+10+11+12,一共有4個加數.
所以原問題有三個解:一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.
答:一共有7只、4只或3只盒子.
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