數論問題的奧數練習題:整數拆分的綜合訓練
把70表示成11個不同的自然數之和,同時要求含有質數的個數最多。
分析:先考慮把70表示成11個不同的.自然數之和。因1+2+3+……+11=66,現在要將4分配到適當的加數上,使其和等於70,又要使這11個加數互不相等。先將4分別加在後四個加數上,得到四種分拆方法:
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11
=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11
再將4拆成1+3,把1和3放在適當的位置上,僅有一種新方法:
70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12
再將4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2,分別加在不同的位置上,都得不出新的分拆方法,故這樣的分拆方法一共有五種。
顯然,這五種分拆方法中含有質數的個數最多的是:
1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
點金術:巧用舉例和篩選法得出結論。
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