關於小升中奧數數論綜合常考內容講義
【內容概述】涉及知識點多、解題過程比較複雜的整數綜合題,以及基本依靠數論手段求解的其他型別問題.
1.如果把任意n個連續自然數相乘,其積的個位數字只有兩種可能,那麼n是多少?
【分析與解】我們知道如果有5個連
續的自然數,因為其內必有2的倍數,也有5的倍數,則它們乘積的個位數字只能是0。
所以n小於5.
第一種情況:當n為4時,如果其內含有5的倍數(個位數字為O或5),顯然其內含有2的倍數,那麼它們乘積的個位數字為0;
如果不含有5的倍數,則這4個連續的個位數字只能是1,2,3,4或6,7,8,9;它們的積的個位數字都是4;
所以,當n為4時,任意4個連續自然數相乘,其積的個位數字只有兩科可能.
第二種情況:當n為3時,有1×2×3的個位數字為6,2×3×4的個位數字為4,3×4×5的`個位數字為0,……,不滿足.
第三種情況:當n為2時,有1×2,2×3,3×4,4×5的個位數字分別為2,6,4,0,顯然不滿足.
至於n取1顯然不滿足了.
所以滿足條件的n是4.
2.如果四個兩位質數a,b,c,d兩兩不同,並且滿足,等式a+b=c+d.那麼,
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
【分析與解】兩位的質數有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,
67,71,73,79,83,89,97.
可得出,最小為11+19=13+17=30,最大為97+71=89+79=168.
所以滿足條件的a+b最小可能值為30,最大可能值為168.
3.如果某整數同時具備如下3條性質:
①這個數與1的差是質數;
②這個數除以2所得的商也是質數;
③這個數除以9所得的餘數是5.
那麼我們稱這個整數為幸運數.求出所有的兩位幸運數.
【分析與解】條件①也就是這個數與1的差是2或奇數,這個數只能是3或者偶數,再根據條件③,除以9餘5,在兩位的偶數中只有14,32,50,68,86這5個數滿足條件.
其中86與50不符合①,32與68不符合②,三個條件都符合的只有14.
所以兩位幸運數只有14.
4.在555555的約數中,最大的三位數是多少?
【分析與解】555555=5×111×1001
=3×5×7×11×13×37
顯然其最大的三位數約數為777.
5.從一張長2002毫米,寬847毫米的長方形紙片上,剪下一個邊長儘可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那麼在剩下的紙片上再剪下一個邊長儘可能大的正方形.按照上面的過程不斷地重複,最後剪得正方形的邊長是多少毫米?
【分析與解】從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形,這樣的正方形的個數恰好是2002除以847所得的商.而餘數恰好是剩下的長方形的寬,於是有:2002÷847=2……308,847÷308=2……231,308÷231=1……77.231÷77=3.
不難得知,最後剪去的正方形邊長為77毫米.
6.已知存在三個小於20的自然數,它們的最大公約數是1,且兩兩均不互質.請寫出所有可能的答案.
【分析與解】設這三個數為a、b、c,且a
小於20的合數有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.其中只含1種因數的合數不滿足,所以只剩下6,10,12,14,15,18這6個數,但是14=2×7,其中質因數7只有14含有,無法找到兩個不與14互質的數.
所以只剩下6,10,12,15,18這5個數存在可能的排列.
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